A 叠加定理

在讨论系统时，我们往往会标出这个系统的输入和输出。下面讨论单输入单输出系统：
（一）【电路】电路中的重要定理
如果这个系统是线性的，那么对于这个单输入单输出系统来讲，我们一定可以写成 $y=ax$ 的形式，其中a是一个由系统确定的系数。
线性系统有两个性质： $y=ax\begin{cases}齐次性：x\rightarrow kx\qquad y\rightarrow ky \\ 可加性：x\rightarrow x_1+x_2\qquad y\rightarrow y_1+y_2\qquad (y_1,y_2分别是x_1和x_2的输出)\end{cases}$

如果这个系统是双输入单输出：
（一）【电路】电路中的重要定理
输出要写成输入的线性组合
$y=ax_1+bx_2$
如果把这个线性系统落实在电路中：

输入：独立电压源，独立电流源等
系统构成：各种线性电阻，线性受控源等
输出：任何一个支路的电压或者电流。

系统可以进一步表示成： $\begin{cases}y'=ax_1 \\ y''=bx_2\end{cases}\rightarrow y=y'+y''$
$y'$ 是对于系统中 $x_2=0$ ， $y''$ 是对于 $x_1=0$ ，这就提示我们由于 $x_1和x_2$ 都分别是独立源。
因此，我们在求解电路中任何一个支路的时候，就可以尝试着把一个独立源单独作用，其他独立源置零，得到某一个支路量的分量 $y'$ ，然后得到另一种情况下的分量 $y''$ ，把这两种分量相加，就得到原来的那个支路量 $y$ 。这就构成了我们要讨论的一个重点——叠加定理。

例子：
（一）【电路】电路中的重要定理
节点电压法：
$(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3})u=\frac{u_{S1}}{R1}+\frac{u_{S2}}{R_2}+\frac{ri_1}{R_3}$

其中： $i_1=-\frac{u-u_{S1}}{R_1}$

$(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}+\frac{r}{R_1R_3})u=(\frac{1}{R_1}+\frac{r}{R_1R_2})u_{S1}+\frac{u_{S2}}{R_2}$

对应于 $y=ax_1+bx_2$

$y\rightarrow u\qquad u_{S1}\rightarrow x_1\qquad u_{S2}\rightarrow x_2$

使得 $u_{S1}(x_1)$ 等于0，考虑 $y''=bx_2$ :
（一）【电路】电路中的重要定理
$(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3})u'=\frac{u_{s2}}{R_2}+\frac{ri_1}{R_3}\qquad$

其中： $i_1=\frac{-u'}{R_1}\rightarrow$

$(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}+\frac{r}{R_1R_3})u'=\frac{U_{S2}}{R_2}$

使得 $u_{S2}(x_2)$ 等于0，考虑 $y'=ax_1$ :
（一）【电路】电路中的重要定理
$(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3})u''=\frac{u_{S1}}{R_1}+\frac{ri_1}{R_3}$

其中： $i_1=\frac{u_{S1}-u''}{R_1}\rightarrow$

$(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}+\frac{r}{R_1R_3})u''=(\frac{1}{R_1}+\frac{r}{r_1+R_3})u_{S1}$

$u=u'+u''$