随机变量用大写字母来表示，如$X$X，其具体的观测值用小写字母来表示，如$x$x。我们希望通过观测到的结果，来推断出随机变量的真实分布。根据随机变量的取值，分为离散随机变量和连续随机变量，在量化交易中，绝大多数数据都是连续随机变量。

1.概率与概率分布

1.1.离散型随机变量

假设离散型随机变量$X$X，其所有取值的集合为$\{a_k\}, k=1,2,3,...${ak​},k=1,2,3,...，我们定义$X$X的概率质量函数为：

$f_{X}(a_k)=P\{ X=a_k \}, k=1, 2, 3, ...$fX​(ak​)=P{X=ak​},k=1,2,3,...

累积概率分布函数定义为：

$F_{X}(a)=P\{X \le a\}=\sum_{i:a_{i} \le a}f_{X}(a_{i})$FX​(a)=P{X≤a}=i:ai​≤a∑​fX​(ai​)

我们假设随机变量$X$X可以取的值为$\{1, 2, 3, 4, 5\}${1,2,3,4,5}，对应的概率为：$\{0.1, 0.1, 0.3, 0.3, 0.2\}${0.1,0.1,0.3,0.3,0.2}，根据此分布我们生成1000个点，打印出每个数值出现的概率和直方图，代码如下所示：

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

def startup():
    ''' 数据位置分析 '''
    num = 1000
    data = np.random.choice([1, 2, 3, 4, 5], size=num, replace=True, p=[0.1, 0.1, 0.3, 0.3, 0.2])
    xs = pd.Series(data)
    print(xs.value_counts() / num)
    plt.hist(xs)
    plt.show()
    
    
if '__main__' == __name__:
    startup()

运行结果为：


1.2.连续型随机变量

连续型随机变量取某个具体值的概率为0，即：$P_{X}(X=a_{k})=0$PX​(X=ak​)=0。

累积分布函数定义：

$F_{X}(a)=P_{X}\{ X \le a \}=\int_{-\infty}^{a}f_{X}(x)dx$FX​(a)=PX​{X≤a}=∫−∞a​fX​(x)dx

概率密度函数定义：

$f_{X}(x)=\frac{dF_{X}(x)}{dx}$fX​(x)=dxdFX​(x)​

下面我们以2014年沪深300指数日收益率为例，绘制出其概率密度函数和累积分布函数的曲线，数据格式为：

代码如下所示：

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt

def startup():
    data = pd.read_csv('../datas/return300.csv')
    f_x = stats.kde.gaussian_kde(data.iloc[:, 1])
    bins = np.arange(-5, 5, 0.02)
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
    plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
    plt.subplot(211)
    plt.title('沪深300概率密度函数曲线')
    plt.plot(bins, f_x(bins))
    plt.subplot(212)
    plt.title('沪深300累积分布函数曲线')
    plt.plot(bins, f_x(bins).cumsum())
    plt.show()    
    
if '__main__' == __name__:
    startup()

运行结果如下所示：

2.期望与方差

2.1.离散随机变量

期望定义为：

$E(X)=\sum_{k}a_{k}f_{X}(a_{k})=\sum_{k}a_{k}P\{ X=a_{k} \}$E(X)=k∑​ak​fX​(ak​)=k∑​ak​P{X=ak​}

方差定义为：

$Var(X)=E[X-E(X)]^{2}=\sum_{k}[a_{k}-E(X)]^{2}P\{ X=a_{k} \}$Var(X)=E[X−E(X)]2=k∑​[ak​−E(X)]2P{X=ak​}

光讲概念比较抽象，下面以伯努利分布为例。假设随机变量$X$X服从伯努利分布，只能取值0或者1，其概率质量函数定义为：

$f_{X}(x)=P\{ X=x \}=\begin{cases} p,\quad x=1\\ 1-p, \quad x=0 \end{cases}$fX​(x)=P{X=x}={p,x=11−p,x=0​

其希望值为：

$E(X)=\sum_{k}a_{k}P\{ X=a_{k} \}=1 \cdot P\{ X=1 \} + 0 \cdot P\{ X=0 \}=1 \cdot p + 0 \cdot (1-p)=p$E(X)=k∑​ak​P{X=ak​}=1⋅P{X=1}+0⋅P{X=0}=1⋅p+0⋅(1−p)=p

方差为：

$Var(X)=\sum_{k}[a_{k}-E(X)]^{2}P\{ X=a_{k} \}=(1-p)^{2}P\{ X=1 \}+(0-p)^{2}P\{ X=0 \}\\ =(1-p)^{2}p + p^{2}(1-p)=(1-p)p$Var(X)=k∑​[ak​−E(X)]2P{X=ak​}=(1−p)2P{X=1}+(0−p)2P{X=0}=(1−p)2p+p2(1−p)=(1−p)p

2.2.连续随机变量

期望定义：

$E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x f_X(x)dx$E(X)=∫−∞∞​xfX​(x)dx

方差定义为：

$Var(X)=\int_{-\infty}^{\infty} \big[ x - E(X) \big]^{2} f_{X}(x)dx$Var(X)=∫−∞∞​[x−E(X)]2fX​(x)dx

3.二项分布

我们把伯努利变量多次观察值的过程称之为伯努利过程。假设随机变量$Y_{i}$Yi​代表第$i$i次观察时$Y$Y取值为1或0的值，我们进行n次试验，每次实验中$Y_{i}$Yi​为1的概率为p，将$Y_{i}$Yi​为1的次数用随机变量$X \sim b(n, p)$X∼b(n,p)表示：

$X=\sum_{i=1}^{n}Y_{i}, \quad \quad X \in {0, 1, 2, ..., n}$X=i=1∑n​Yi​,X∈0,1,2,...,n

3.1.性质

3.1.1.概率密度函数

$f_{X}(k)=P\{ X=k \}=C_{n}^{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}\\ C_{n}^{k}=\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$fX​(k)=P{X=k}=Cnk​⋅pk⋅(1−p)n−kCnk​=k!⋅(n−k)!n!​

表示在n次试验中，有$k$k次$Y_{i}$Yi​值为1的概率。

3.1.2.期望

$E(X)=np$E(X)=np

3.1.3.方差

$Var(x)=np(1-p)$Var(x)=np(1−p)

3.2.Python程序实现

程序如下所示：

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt

def startup():
    n = 100
    p = 0.5
    count = 20
    datas = np.random.binomial(n, p, count)
    print(datas)
    k = 20
    f_X = stats.binom.pmf(k, n, p)
    print('概率质量函数（20次正面概率）：{0}'.format(f_X))
    F_X = stats.binom.pmf(np.arange(0, 21, 1), n, p).sum()
    print('累积分布函数（小于等于20次正面概率）1：{0}'.format(F_X))
    F_X2 = stats.binom.cdf(k, n, p)
    print('累积分布函数（小于等于20次正面概率）2：{0}'.format(F_X2))
    
if '__main__' == __name__:
    startup()

运行结果如下所示：

3.3.金融应用

在金融分析领域，如果我们设定收益率为正时为1，否则为0，就可以将其视为二项分布。我们还以沪深300在2014年的收益率为例，交易日为245天，相当于做了245次试验，我们可以求出收益率为正（即为1）的概率，我们就可以预测接下来10天收益率为正的概率，程序如下所示：

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt

def startup():
    data = pd.read_csv('../datas/return300.csv')
    ror = data.iloc[:, 1]
    p = len(ror[ror>0]) / len(ror)
    print('p={0}'.format(p))
    n = 10
    k = 6
    print('10天中6天上涨概率：{0}'.format(stats.binom.pmf(k, n, p)))
    
if '__main__' == __name__:
    startup()

运行结果为：

4.正态分布

4.1.正态分布定义

对于连续型随机变量，正态分布又叫高斯分布，是自然界中广泛存在的一种分布，在金融和社会科学领域，也有很多应用场景。随机变量$X$X服从希望为$\mu$μ和方差为$\sigma ^{2}$σ2的正态分布表示为：$X \sim N(\mu, \sigma ^{2}), X \in (-\infty, \infty)$X∼N(μ,σ2),X∈(−∞,∞)。

概率密度函数定义：

$f_{X}(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma}} e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma ^{2}}}$fX​(x)=2πσ​1​e−2σ2(x−μ)2​

下面程序画出三个正态分布的曲线：

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt

def gaussian(mu, sigma, x):
    sigma2 = sigma ** 2
    return 1/np.sqrt(2*np.pi*sigma)*np.exp(-(x-mu)**2 / (2*sigma2))

def startup():
    x = np.linspace(-5, 7, 1000)
    # mu=0, sigma=1
    mu = 0
    sigma = 1
    y1 = gaussian(mu, sigma, x)
    plt.plot(x, y1)
    # mu=0, sigma = 2
    mu = 0
    sigma = 2
    y2 = gaussian(mu, sigma, x)
    plt.plot(x, y2)
    # mu = 1, sigma = 5
    mu = 2
    sigma = 3
    y3 = gaussian(mu, sigma, x)
    plt.plot(x, y3)
    plt.show()
    
if '__main__' == __name__:
    startup()

运行结果为：

4.2.正态分布规一化

可以将任意的正态分布$X \sim N(\mu, \sigma ^{2})$X∼N(μ,σ2)转化为标准正态分布$Z \sim N(0, 1)$Z∼N(0,1)，其统计性质不变：

$Z=\frac{x-\mu}{\sigma}$Z=σx−μ​

4.3.正态分布金融上的应用

还以沪深300指数2014年日收益率数据库例，假设我们想要估计在其后的一天（2015-01-05）亏损在95%的情况下不会超过多少？假设我们认为沪深300指数2014年日收益率符合正态分布，我们可以先求出正态分布的参数：均值、方差，然后这个值，代码如下所示：

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt

def startup():
    data = pd.read_csv('../datas/return300.csv')
    ror = data.iloc[:, 1]
    mu = ror.mean()
    print('均值：{0}'.format(mu))
    sigma = ror.var()
    stdval = ror.std()
    print('方差：{0}; 标准差：{1}'.format(sigma, stdval))
    loss = stats.norm.ppf((1-0.95), mu, stdval)
    print('95%的情况下亏损不会高于：{0}%'.format(-loss))
    
if '__main__' == __name__:
    startup()

运行结果为：

5.变量的关系

在金融分析中，我们通常需要考察股票对、营收与收益率等之间的关系，我们就需要研究变量间的关系。

5.1.联合概率分布

5.1.1.定义

对于随机变量$X$X和$Y$Y，其所有可能取值集合分别为$\{ x_{i} \}${xi​}和$\{y_{j}\}${yj​}，其中$i,j=1, 2, 3, ...$i,j=1,2,3,...的值，则$X$X和$Y$Y的联合概率质量函数定义为：

$f_{X,Y}(x_{i}, y_{j})=P\{ X=x_{i}且Y=y_{j} \}, \quad i,j = 1, 2, 3, ...$fX,Y​(xi​,yj​)=P{X=xi​且Y=yj​},i,j=1,2,3,...

随机变量$X$X和$Y$Y的联合累积分布函数定义为：

$F_{X,Y}(x, y)=P\{ X \le x且 Y \le y \}$FX,Y​(x,y)=P{X≤x且Y≤y}

5.1.2.离散型

$F_{X,Y}(x,y)=\sum_{i:x_{i} \le x} \sum_{j:y_{j} \le y} P\{ X=x_{i} 且 Y=y_{j} \}\\ =\sum_{i:x_{i} \le x} \sum_{j:y_{j} \le y} f_{X,Y}(x_{i}, y_{j})$FX,Y​(x,y)=i:xi​≤x∑​j:yj​≤y∑​P{X=xi​且Y=yj​}=i:xi​≤x∑​j:yj​≤y∑​fX,Y​(xi​,yj​)

边际概率函数定义为：

$f_{X}(x_{i})=\sum_{j} f_{X,Y}(x_{i}, y_{j})$fX​(xi​)=j∑​fX,Y​(xi​,yj​)

期望值定义为：

$E(X)=\sum_{i} \sum_{j}x_{i} \cdot f_{X,Y}(x_{i}, y_{j})=\sum_{i}x_{i}\sum_{j}f_{X,Y}(x_{i}, y_{j})\\ =\sum_{i}x_{i} \cdot f_{X}(x_{i})$E(X)=i∑​j∑​xi​⋅fX,Y​(xi​,yj​)=i∑​xi​j∑​fX,Y​(xi​,yj​)=i∑​xi​⋅fX​(xi​)

同理可以求出E(Y)，这里就不再给出证明了。

5.1.3.连续型

累积分布函数定义为：

$F_{X,Y}(a,b)=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y)dxdy$FX,Y​(a,b)=∫−∞∞​∫−∞∞​fX,Y​(x,y)dxdy

概率密度函数比较复杂，这里就不再讲述了。

5.2.变量的独立性

随机变量$X$X和$Y$Y的联合累积分布函数满足：

$F_{X,Y}(x,y)=F_{X}(x) \cdot F_{Y}(y)$FX,Y​(x,y)=FX​(x)⋅FY​(y)

则称随机变量$X$X和$Y$Y相互独立，同时具有：

$f_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x) \cdot f_{y}(y)$fX,Y​(x,y)=fX​(x)⋅fy​(y)

对于离散型随机变量有：

$P\{X=x且Y=y\}=P\{ X=x \} \cdot P\{ Y=y \}$P{X=x且Y=y}=P{X=x}⋅P{Y=y}

5.3.变量的相关性

随机变量$X$X和随机变量$Y$Y的协方差定义为：

$Cov(X,Y)=E\bigg[ \big( X-E(X) \big) \big( Y-E(Y) \big) \bigg]$Cov(X,Y)=E[(X−E(X))(Y−E(Y))]

协方差具有如下性质：

$Cov(X,Y)=Cov(Y,X)\\ Cov(aX,bY)=abCov(X,Y) \quad \quad a,b为常数\\ Cov(X_{1}+X_{2},Y)=Cov(X_{1}, Y)+Cov(X_{2}, Y)$Cov(X,Y)=Cov(Y,X)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)a,b为常数Cov(X1​+X2​,Y)=Cov(X1​,Y)+Cov(X2​,Y)

协方差大小不具有直接可比性，因此我们定义相关系数：

$\rho _{X,Y}=\frac{Cov(X,Y)}{\sigma _{X} \sigma _{Y}}$ρX,Y​=σX​σY​Cov(X,Y)​

其取值为$[-1,1]$[−1,1]。$\rho$ρ为正数时值越大，则表明$X$X增大$Y$Y增大的越明显；$\rho$ρ为负数时值越小，则表明$X$X增大时$Y$Y减小越明显。

5.4.相关性分析举例

我们以上证综指和深证综指日收益率数据为例，来分这两个指数的相关性。程序如下所示：

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt

def startup():
    data = pd.read_table('../datas/TRD_Index.txt')
    shIndex = data[data.Indexcd==1] # 上证综指编号为1
    szIndex = data[data.Indexcd==399106] # 深证综指编号为399106
    # 计算相关系数
    szIndex.index = shIndex.index
    rho = szIndex.Retindex.corr(shIndex.Retindex)
    # 绘制相关性图形
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
    plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
    plt.title('上证综指与深证综指相关性(rho={0})'.format(rho))
    plt.xlabel('上证综指')
    plt.ylabel('深证综指')
    plt.scatter(shIndex.Retindex, szIndex.Retindex)
    plt.show()
    
if '__main__' == __name__:
    startup()

运行结果为：

由上图可以看出，深证综指和上证综指从图形上看几乎形成一个直线，而相关系数为0.9，证明这二者之间存在非常强的正相关性。