线性时不变系统——信号系统学习笔记

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系统的分类

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根据不同的角度，可以把系统分成不同的种类：

连续系统和离散系统
即时系统与动态系统
集总参数系统和分布参数系统
可逆系统与不可逆系统
线性系统
时不变系统
因果系统
稳定系统

系统跳过了电路的具体结构，只考虑输入(激励$e(t)$e(t))和输出（响应$r(t)$r(t)）的关系。
其中系统函数$H[n ]$H[n]是表征系统固有特性的函数，因此与外加激励毫无关系，只与系统的固有结构有关。

外加激励默认在零时刻加进去，系统零时刻之前的原始储能状态为初始状态。


倒推推出来是一对一的是可逆，确定不了是一对多的是不可逆

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线性系统

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线性指的是均匀性（齐次）和叠加性（可加），两者同时满足才可称为线性，否则就是非线性。
判断一个系统是否为线性：

把原来的激励信号和把原来的响应当作新的激励信号分别经过线性组合之后看是否等价，是就是线性，不是就是不是。

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时不变系统（非时变）

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以微分电路为例：


分两步：
(1) 将原来的激励信号先时移，再经过系统的响应得到的结果
(2) 将原来的激励信号先经过系统的响应，再时移得到的结果
如果（1）和（2）的结果相同就是时不变，否则为时变。

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Linear and Time-invariant System 线性时不变系统（LTI）

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LTI性质：

微积分性质可以推广至高阶

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因果系统

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系统的因果关系：从系统的因果性来看，输入（激励）是输出（响应）的原因，输出是输入的结果。系统的因果信号：借助“因果”这一关系，我们称在t=0之后对系统产生影响的信号为因果信号，换句话说，t<0时，信号取值为0的信号为因果信号。

目前物理可实现的系统都是因果系统

如果$t$t前的加权系数不为1就不能这么判断了
例：$\bm{r(t)=e(2t)}$r(t)=e(2t)
因为：若$e(t)=0, 有r(t_0)=e(2t_0)=0|_{t_0=0.5},t_0<0.5t_0$e(t)=0,有r(t0​)=e(2t0​)=0∣t0​=0.5​,t0​<0.5t0​，故为非因果系统。

需注意的是：因果信号与因果系统不是一个东西。

满足$\bm{e(t) = e(t)u(t)}$e(t)=e(t)u(t)（单边信号）为因果信号。
通常在信号与系统中用到的就是这种单边拉普拉斯变换（有时也将t=0_考虑进去），也就是因果信号（含有输入信号和输出信号的信号系统）的拉氏变换。
详情可参考拉普拉斯变换【直观解释】—复变函数与积分变换学习笔记

因果信号与因果系统

总之，线性时不变系统是最基础的最简单的系统，相应的非线性时变系统最为复杂，