之前讲过的单因素到Graeco-Latin Square设计处理的都是一个treatment factor的问题，但大多数情况下做试验不会只考虑一个treatment factor。超过一个treatment factor的设计叫析因设计（factorial design），这一讲先介绍两个treatment factor的析因设计，它相当于单因素试验设计的推广，后续会逐渐推广到多个factor，并引入blocking、正交等概念。

模型设定与假设

只含有两个treatment factor的析因试验的统计模型为
$y_{ijk} = \mu + \tau_i + \beta_j + (\tau \beta)_{ij} + \epsilon_{ijk},\epsilon_{ijk} \sim_{iid} N(0,\sigma^2) \\ i=1,\cdots,a,j=1,\cdots,b,k=1,\cdots,n$yijk​=μ+τi​+βj​+(τβ)ij​+ϵijk​,ϵijk​∼iid​N(0,σ2)i=1,⋯,a,j=1,⋯,b,k=1,⋯,n
其中$\mu$μ是总体均值，$\tau_i$τi​是第一个treatment factor的level i 的treatment effect，$\beta_j$βj​是第二个treatment factor的level j 的treatment effect，$(\tau \beta)_{ij}$(τβ)ij​是第一个treatment factor的level i 与第二个treatment factor的level j 的交互效应，$n$n是重复试验的次数。还是用固定效应模型的假设
$\sum \tau_i = \sum \beta_j = \sum_i (\tau \beta)_{ij} = \sum_j (\tau \beta)_{ij} =0$∑τi​=∑βj​=i∑​(τβ)ij​=j∑​(τβ)ij​=0
参数估计我就不写了，每次都大同小异，直接上我老师ppt截图，这些估计量都是OLS估计，也是MLE：

平方和的分解也懒得推了，反正每次都大同小异，也用老师slides的截图

然后是关于treatment effect的假设检验

以及ANOVA table

到这里先评论两点：

1. $SSE$SSE的*度是$ab(n-1)$ab(n−1)，这意味着只做了一次试验的话$MSE$MSE是不存在的，这个上面的检验也就没法做了，所以析因试验需要做多组重复试验；
2. 模型需要验证的假设还是正态性、独立性、同方差性；
3. 再强调一下可加性的含义。可加性指的是每个factor的effect加起来就是总的effect，显然存在交互效应时就不满足可加性，因此如果不是所有的交互效应都为零，我们应该认为析因试验没有可加性；但关于析因设计是否具有可加性，依然可以用Tukey‘s 检验来做。
4. 效应的比较可以用单因素试验的类似的办法来做。

Response Surface

ANOVA都是把factor当成qualitative变量来处理的，如果factor是quantitative变量并且想当成quantitative变量来估计，可以用response surface的方法来处理，也就是用回归的方法来估计模型：
$y=\beta_0 + \beta_1 x_A + \beta_2 x_B + \beta_3 x_A x_B + \epsilon$y=β0​+β1​xA​+β2​xB​+β3​xA​xB​+ϵ
得到估计量之后，画出$\hat{y}$y^​关于$x_A$xA​与$x_B$xB​的曲面就是response surface。

一般的析因设计

假设有$r$r个factor，$F_1,\cdots,F_r$F1​,⋯,Fr​，每一个的level数目为$l_i,i=1,\cdots,r$li​,i=1,⋯,r，则共有
$(\sum_{i=1}^r l_i) + (\sum_{i < j}l_i l_j) +(\sum_{i<j<j}l_il_jl_k)+\cdots + (\prod_{i=1}^r l_i)$(i=1∑r​li​)+(i<j∑​li​lj​)+(i<j<j∑​li​lj​lk​)+⋯+(i=1∏r​li​)
种不同的效应。以三个factor的为例，模型设定为

ANOVA table为

区组析因设计

Blocked factorial design指的是在有nuisance factor的情况下考虑多个treatment factor的设计。以两个treatment factor的试验有一个nuisance factor为例，具体操作也比较简单，把$n$n个重复试验设计为把$n$n个block factor的level随机分配给析因设计的单位即可。ANOVA table如下：

如果两个treatment factor的试验有两个block factor，就先把两个block factor弄成Latin Square，再随机分配给析因设计的试验单位，统计模型如下：