Fourier Series 傅立叶级数学习笔记Part 1

Numerical Methods and Modeling in Science数值方法建模这门课最近进入到了一个我完全不会的区域，傅立叶变换。
傅立叶变换的历史就是让人胆颤的历史。学渣如我，闻之色变。
最近的三周课应该都是讲傅立叶变换，写一遍博客也许就记住了----美好的愿望。

引例

Orthonormal标准正交

Orthonormal=Orthogonal+Unit length
在三维空间中，我们有 $\vec{x},\vec{y},\vec{z}$ 满足

$\vec{x} \cdot\vec{x}= \vec{y} \cdot\vec{y}= \vec{z} \cdot\vec{z}= 0$

$\vec{x} \cdot\vec{y}= \vec{y} \cdot\vec{z}= \vec{z} \cdot\vec{x}= 1$
那么任意向量 $\vec{V}=a\vec{x}+b\vec{y}+c\vec{z}$

在区间 $[-\pi,\pi]$ 中函数g和h的点乘可以表示为

$\left \langle g,h \right \rangle=\int_{-\pi}^{\pi} g(x)h(x)dx$

一些函数
$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$
$\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos x$ , $\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos 2x$ , $\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos 3x$
$\frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin x$ , $\frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin 2x$ , $\frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin 3x$
可以被证明是orthonormal的
$\left \langle \frac{1}{\sqrt{2\pi}},\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \right \rangle=1$
$\left \langle \frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos 2x,\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos 2x \right \rangle=1$
$\left \langle \frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin 2x,\frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin 2x \right \rangle=1$

$\left \langle \frac{1}{\sqrt{2\pi}},\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos 2x \right \rangle=0$
…
那么类似于 $\vec{V}$
函数 $f(x)=c_{0}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}+c_{1}\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos x+c_{2}\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos 2x+...\\+d_{1}\frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin x+d_{2}\frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin 2x+...$

我们可以利用上面的orthonormal关系计算得到系数

$c_{0}=\left \langle f(x),\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \right \rangle=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}f(x)dx$

$c_{n}=\left \langle f(x),\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos nx \right \rangle=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{\sqrt{\pi}}f(x) \cos nxdx$

$d_{n}=\left \langle f(x),\frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin nx \right \rangle=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{\sqrt{\pi}}f(x) \sin nxdx$

因此

$f(x)=(\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{\sqrt{\pi}}f(x) \cos nxdx )\frac{1}{\sqrt{2\pi}}+\sum_{n=1}^{\infty}(\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{\sqrt{\pi}}f(x) \cos nxdx)\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos nx+\sum_{n=1}^{\infty}(\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{\sqrt{\pi}}f(x) \sin nxdx)\frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin nx$

化简

$f(x)=(\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x) \cos nxdx )\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x) \cos nxdx)\cos nx+\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x) \sin nxdx)\sin nx$