【数学问题】四足机器人确定初始姿态

我们可以把机器人的一条腿简化成以下形状，由两根连杆组成，$\alpha$α为髋关节角度，$\beta$β为膝关节角度。

我们假定足端与髋关节原点保持竖直关系，根据几何关系，

1、$l_1 \neq l_2$l1​​=l2​ 的情况：

$\begin{matrix} \alpha =& \arccos{\left(\frac{l_1^2 + L^2 -l_2^2}{2l_1L} \right)}\\ \\ \gamma = & \arccos{\left(\frac{- l_1^{2} + L^{2} + l_{2}^{2}}{2 L l_{2}} \right)} \\\\ \beta =& \alpha + \gamma \end{matrix}$α=γ=β=​arccos(2l1​Ll12​+L2−l22​​)arccos(2Ll2​−l12​+L2+l22​​)α+γ​

通过$\alpha$α可以求出离地高度：
$L =l_1 \cos{\left(\alpha \right)} + \sqrt{- l_1^{2} \sin^{2}{\left(\alpha \right)} + l_{2}^{2}}$L=l1​cos(α)+−l12​sin2(α)+l22​​

2、$l_1= l_2$l1​=l2​的情况：

这种情况就比较简单一点，实际上就是上述情况的的特殊解：

$\begin{matrix} L =& 2l_1\cos\alpha\\ \\ \gamma = & \alpha \\\\ \beta =& 2\alpha \end{matrix}$L=γ=β=​2l1​cosαα2α​