卷积神经网络（CNN）介绍

一 卷积神经网络的特征
卷积神经网络是在BP神经网络的改进，与BP类似，都采用了前向传播计算输出值，反向传播调整权重和偏置；CNN与标准的BP最大的不同是：CNN中相邻层之间的神经单元并不是全连接，而是部分连接，也就是某个神经单元的感知区域来自于上层的部分神经单元，而不是像BP那样与所有的神经单元相连接。CNN的有三个重要的思想架构：
1） 局部区域感知 2）权重共享 3）空间或时间上的采样。
局部区域感知能够发现数据的一些局部特征，比如图片上的一个角，一段弧，这些基本特征是构成动物视觉的基础；CNN中每一层的由多个map组成，每个map由多个神经单元组成，同一个map的所有神经单元共用一个卷积核（即权重），卷积核往往代表一个特征，比如某个卷积核代表一段弧，那么把这个卷积核在整个图片上滚一下，卷积值较大的区域就很有可能是一段弧。注意卷积核其实就是权重，我们并不需要单独去计算一个卷积，而是一个固定大小的权重矩阵去图像上匹配时，这个操作与卷积类似，因此我们称为卷积神经网络，实际上，BP也可以看做一种特殊的卷积神经网络，只是这个卷积核就是某层的所有权重，即感知区域是整个图像。权重共享策略减少了需要训练的参数，使得训练出来的模型的泛化能力更强。
二 卷积神经网络的网络结构
一般卷积神经网络是一个多层的神经网络，每层由多个二维平面组成，而每个平面由多个独立神经元组成。如下图所示

输入图像通过三个可训练的滤波器和可加偏置进行卷积，滤波过程如图，卷积后在C1层产生三个特征映射图，然后特征映射图中每组的四个像素再进行求和，加权值，加偏置，通过一个Sigmoid函数得到三个S2层的特征映射图。这些映射图再进过滤波得到C3层。这个层级结构再和S2一样产生S4。最终，这些像素值被光栅化，并连接成一个向量输入到传统的神经网络，得到输出。
一般地，C层为特征提取层，每个神经元的输入与前一层的局部感受野相连，并提取该局部的特征，一旦该局部特征被提取后，它与其他特征间的位置关系也随之确定下来；S层是特征映射层，网络的每个计算层由多个特征映射组成，每个特征映射为一个平面，平面上所有神经元的权值相等。特征映射结构采用影响函数核小的sigmoid函数作为卷积网络的**函数，此外，由于一个映射面上的神经元共享权值，因而减少了网络*参数的个数，降低了网络参数选择的复杂度。卷积神经网络中的每一个特征提取层（C-层）都紧跟着一个用来求局部平均与二次提取的计算层（S-层），这种特有的两次特征提取结构使网络在识别时对输入样本有较高的畸变容忍能力。得特征映射具有位移不变性。

下面结合具体例子来研究一下卷积神经网络。如下图是一种典型的用来识别数字的卷积网络是LeNet-5。当年美国大多数银行就是用它来识别支票上面的手写数字的。能够达到这种商用的地步，它的准确性可想而知。

LeNet-5共有7层，不包含输入，每层都包含可训练参数（连接权重）。输入图像为32*32大小。这要比Mnist数据库（一个公认的手写数据库）中最大的字母还大。这样做的原因是希望潜在的明显特征如笔画断电或角点能够出现在最高层特征监测子感受野的中心。 我们先要明确一点：每个层有多个Feature Map，每个Feature Map通过一种卷积滤波器提取输入的一种特征，然后每个Feature Map有多个神经元。
C1层是一个卷积层，由6个特征图Feature Map构成。特征图中每个神经元与输入中5*5的邻域相连。特征图的大小为28*28，。C1有156个可训练参数（每个滤波器5*5=25个unit参数和一个bias参数，一共6个滤波器，共(5*5+1)6=156个参数），共156(28*28)=122,304个连接。
卷积过程包括：用一个可训练的滤波器（卷积核）fx去卷积一个输入的图像（第一阶段是输入的图像，后面的阶段就是卷积特征map了），然后加一个偏置bx，得到卷积层Cx。

S2层是一个下采样层，有6个14*14的特征图。特征图中的每个单元与C1中相对应特征图的2*2邻域相连接。S2层每个单元的4个输入相加，乘以一个可训练参数，再加上一个可训练偏置。结果通过sigmoid函数计算。具体操作如下图所示意。可训练系数和偏置控制着sigmoid函数的非线性程度。如果系数比较小，那么运算近似于线性运算，亚采样相当于模糊图像。如果系数比较大，根据偏置的大小亚采样可以被看成是有噪声的“或”运算或者有噪声的“与”运算。每个单元的2*2感受野并不重叠，因此S2中每个特征图的大小是C1中特征图大小的1/4（行和列各1/2）。S2层有12个可训练参数和5880个连接。

子采样过程包括：每邻域四个像素求和变为一个像素，然后通过标量Wx+1加权，再增加偏置bx+1，然后通过一个sigmoid**函数，产生一个大概缩小四倍的特征映射图Sx+1。
C3层也是一个卷积层，它同样通过5x5的卷积核去卷积层S2，然后得到的特征map就只有10x10个神经元，但是它有16种不同的卷积核，所以就存在16个特征map了。这里需要注意的一点是：C3中的每个特征map是连接到S2中的所有6个或者几个特征map的，表示本层的特征map是上一层提取到的特征map的不同组合（这个做法也并不是唯一的）。（这里是组合，就像之前提到的人的视觉系统一样，底层的结构构成上层更抽象的结构，例如边缘构成形状或者目标的部分）。
刚才说C3中每个特征图由S2中所有6个或者几个特征map组合而成。为什么不把S2中的每个特征图连接到每个C3的特征图呢？原因有2点。第一，不完全的连接机制将连接的数量保持在合理的范围内。第二，也是最重要的，其破坏了网络的对称性。由于不同的特征图有不同的输入，所以迫使他们抽取不同的特征（希望是互补的）。
例如，存在的一个方式是：C3的前6个特征图以S2中3个相邻的特征图子集为输入。接下来6个特征图以S2中4个相邻特征图子集为输入。然后的3个以不相邻的4个特征图子集为输入。最后一个将S2中所有特征图为输入。这样C3层有1516个可训练参数和151600个连接。具体如下图所示

S4层是一个下采样层，由16个5*5大小的特征图构成。特征图中的每个单元与C3中相应特征图的2*2邻域相连接，跟C1和S2之间的连接一样。S4层有32个可训练参数（每个特征图1个因子和一个偏置）和2000个连接。
C5层是一个卷积层，有120个特征图。每个单元与S4层的全部16个单元的5*5邻域相连。由于S4层特征图的大小也为5*5（同滤波器一样），故C5特征图的大小为1*1：这构成了S4和C5之间的全连接。之所以仍将C5标示为卷积层而非全相联层，是因为如果LeNet-5的输入变大，而其他的保持不变，那么此时特征图的维数就会比1*1大。C5层有48120个可训练连接。
第6层有84个单元（之所以选这个数字的原因来自于输出层的设计），与C5层全相连。有10164个可训练参数。如同经典神经网络，6层计算输入向量和权重向量之间的点积，再加上一个偏置。然后将其传递给sigmoid函数产生单元i的一个状态。

训练算法与传统的BP算法差不多。主要包括4步，这4步被分为两个阶段：
第一阶段，向前传播阶段：
a）从样本集中取一个样本(X,Yp)，将X输入网络；
b）计算相应的实际输出Op。
在此阶段，信息从输入层经过逐级的变换，传送到输出层。这个过程也是网络在完成训练后正常运行时执行的过程。在此过程中，网络执行的是计算（实际上就是输入与每层的权值矩阵相点乘，得到最后的输出结果）：
Op=Fn（…（F2（F1（XpW（1））W（2））…）W（n））
第二阶段，向后传播阶段
反向传输过程是CNN最复杂的地方，虽然从宏观上来看基本思想跟BP一样，都是通过最小化残差来调整权重和偏置，但CNN的网络结构并不像BP那样单一，对不同的结构处理方式不一样，而且因为权重共享，使得计算残差变得很困难，很多论文和文章都进行了详细的讲述，
　　输出层的残差
　　和BP一样，CNN的输出层的残差与中间层的残差计算方式不同，输出层的残差是输出值与类标值得误差值，而中间各层的残差来源于下一层的残差的加权和。输出层的残差计算如下：
　下一层为采样层（subsampling）的卷积层的残差
　
当一个卷积层L的下一层(L+1)为采样层，并假设我们已经计算得到了采样层的残差，现在计算该卷积层的残差。从最上面的网络结构图我们知道，采样层（L+1）的map大小是卷积层L的1/（scale*scale），代码里面，scale取2，但这两层的map个数是一样的，卷积层L的某个map中的4个单元与L+1层对应map的一个单元关联，可以对采样层的残差与一个scale*scale的全1矩阵进行克罗内克积进行扩充，使得采样层的残差的维度与上一层的输出map的维度一致，代码如下，其中d表示残差，a表示输出值：
net.layers{l}.d{j} = net.layers{l}.a{j} .* (1 - net.layers{l}.a{j}) .* expand(net.layers{l + 1}.d{j}, [net.layers{l + 1}.scale net.layers{l + 1}.scale 1])
扩展过程如下

残差的计算

下一层为卷积层（subsampling）的采样层的残差
　　当某个采样层L的下一层是卷积层(L+1)，并假设我们已经计算出L+1层的残差，现在计算L层的残差。采样层到卷积层直接的连接是有权重和偏置参数的，因此不像卷积层到采样层那样简单。现再假设L层第j个map Mj与L+1层的M2j关联，按照BP的原理，L层的残差Dj是L+1层残差D2j的加权和，但是这里的困难在于，我们很难理清M2j的那些单元通过哪些权重与Mj的哪些单元关联，代码里面还是采用卷积（稍作变形）巧妙的解决了这个问题，其代码为：
convn(net.layers{l + 1}.d{j}, rot180(net.layers{l + 1}.k{i}{j}), ‘full’);
rot180表示对矩阵进行180度旋转（可通过行对称交换和列对称交换完成），为什么这里要对卷积核进行旋转，答案是：通过这个旋转，’full’模式下得卷积的正好抓住了前向传输计算上层map单元与卷积和及当期层map的关联关系，需要注意的是matlab的内置函数convn在计算卷积前，会对卷积核进行一次旋转，因此我们之前的所有卷积的计算都对卷积核进行了旋转。
convn在计算前还会对待卷积矩阵进行0扩展，如果卷积核为k*k，待卷积矩阵为n*n，需要以n*n原矩阵为中心扩展到(n+2(k-1))*(n+2(k-1))，所有上面convn(a,k,’full’)的计算过程如下：

这里不好理解我再举一个简单的例子
假设第l层某个通道图大小为 3*3。第l+1层有两个卷积核，大小为2*2。则在前向传播的过程中可以得到两个大小为 2*2的特征图。如果特征核的大小如下图所示

反向传播时。假设第l+1层的两个特征图的敏感图如下

在上面计算卷积时采用“full”模式。则把上面两个卷积图进行了用“0”扩充如下图

下面进行卷积操作如下图

然后对计算出的残差求和即可得到想要的结果

当然上面的操作在matlab就用一步程序就执行了。这里我只是列出了其中的原理。当然更具体的操作我也还没理解透
残差计算出来以后再计算权值。这些就和BP神经网络计算一样了。