使用交叉熵作为代价函数

二次代价函数（quadratic cost）：

其中，C表示代价函数，x表示样本，y表示实际值，a表示输出值，n表示样本的总数。

例如：

假如我们使用梯度下降法（Gradient descent）来调整权值参数的大小，权值w和偏置b的梯度推导如下：

其中，z表示神经元的输入。w和b的梯度跟**函数的梯度成正比，**函数的梯度越大，w和b的大小调整得越快，训练收敛得就越快。

假设我们的**函数是sigmoid函数：

假如我们目标是收敛到1。A点为0.82离目标比较远，梯度比较大，权值调整比较大。B点为0.98离目标比较近，梯度比较小，权值调整比较小。调整方案合理。 
假如我们目标是收敛到0。A点为0.82离目标比较近，梯度比较大，权值调整比较大。B点为0.98离目标比较远，梯度比较小，权值调整比较小。调整方案不合理。

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交叉熵代价函数（cross-entropy）：

换一个思路，我们不改变**函数，而是改变代价函数，改用交叉熵代价函数：

其中，C表示代价函数，x表示样本，y表示实际值，a表示输出值，n表示样本的总数。

权值和偏置值的调整与无关。另外，梯度公式中表示输出值与实际值的误差。所以当误差越大时，梯度就越大，参数w和b的调整就越快，训练的速度也就越快。 
如果输出神经元是线性的，那么二次代价函数就是一种合适的选择。如果输出神经元是s型函数，那么比较适合用交叉熵代价函数。

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对数释然代价函数（log-likelihood cost）：

对数释然函数通常用来作为softmax回归的代价函数，如果输出层神经元是sigmoid函数，可以采用交叉熵代价函数。而深度学习中更普遍的做法是将softmax作为最后一层，此时常用的代价函数是对数释然函数。

对数释然函数与softmax的组合和交叉熵与sigmoid函数的组合非常相似。对数释然代价函数在二分类时可以化简为交叉熵代价函数的形式。

在TensorFlow中用： 
tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits()来表示跟sigmoid搭配使用的交叉熵。 
tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits()来表示跟softmax搭配使用的交叉熵。