特征值、特征向量

特征值的定义

定义1:设是阶方阵，若数和维非零列向量，使得成立，则称是方阵的一个特征值，为方阵的对应于特征值的一个特征向量。

1. 是方阵。（对于非方阵，是没有特征值的，但会有条件数。）
2. 特征向量为非零列向量。

特征值与特征向量的几何意义

我们先记线性变换一个T（Transformation）为，容易知道矩阵代表一个线性变换，可以做升维降维，放大缩小以及旋转的线性变换，而对于方阵而言，是不存在升维降维的。即一个方阵其对向量的线性变换为伸长收缩或者旋转。

在为基向量的空间下有个向量，对随便左乘一个矩阵，即对进行一个线性变换：

这时候，我们调整下的方向，使其特殊一点：

可以观察到，调整后的和在同一直线上，只是的长度相对的长度变长了。此时，我们就称是的特征向量，而的长度是的长度的倍，就是特征值。即  

从上面可以看出，特征向量所在直线上的向量都是特征向量。

特征值与特征向量的一些性质

1.如果是一个不可逆方阵，即，则齐次线性方程组有无穷多解，故有非零解，即，故不可逆方阵必有零特征值

2.一些实际问题中,常常会涉及到一系列的运算，，由特征值和特征向量的关系可以简化这些运算，。

3.矩阵的迹trace，即为矩阵的对角元素之和。例记，则。

的特征值为；的特征值为；的特征值为，侧面也说明了非满秩矩阵不可逆。

若，则是对应的特征值。

在复数域中，任意的方阵都存在对应的特征值与特征向量。在实数域中则不一定。

4.特征向量的性质

• 矩阵关于特征值的个特征向量的任意非零线性组合还是的关于的特征向量。
• 设是矩阵的不同特征值所对应的特征向量，则是线性无关的。
• 阶方阵至多有个线性无关的特征向量。
• 矩阵与的特征值相同，但特征向量却未必一样。
• 设为阶方阵的一个重特征值，关于的线性无关的特征向量的最大个数为，则。

矩阵A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B，使得矩阵A、B的乘积为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵。若方阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或非奇异矩阵，且其逆矩阵唯一。定义:设 是数域，，若存在，使得，为单位阵，则称为可逆阵，为的逆矩阵，记为。若方阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或非奇异矩阵。

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