这周在看循环神经网络，发现一个博客，里面的推导过程极其详细，借此记录重点
详细推导
强烈介意手推一遍，虽然可能会花一点时间，但便于理清思路。
语言模型
RNN是在自然语言处理领域中最先被用起来的，比如，RNN可以作为语言模型来建模。
什么是语言模型？
语言模型：给定一个一句话前面的部分，预测接下来最有可能的一个词是什么。
语言模型可以用在语音转文本（STT）上，也可以用在图像到文本的识别中（OCR）。
使用RNN之前，语言模型主要采用N-Gram，即先对句子切词，再在语料库中搜索前n个词进行预测，这样想法没有实用性，因为根本没有用到有用的信息，并且该模型还会占用海量的存储空间。
所以，RNN出现，理论上RNN可以往前看（往后看）任意多个词。
循环神经网络
基本神经网络
如上图左，一个简单的循环神经网络由一个输入层、一个隐藏层和一个输出层组成。
其中，x是一个向量，代表输入层的值；s是一个向量，代表隐藏层的值；o是一个向量，代表输出层的值。
U是输入层到隐藏层的权重矩阵，V是隐藏层到输出层的权重矩阵，权重矩阵W是隐藏层上一次的值作为这一次的输入的权重。循环神经网络与普通的全连接神经网络不同的地方也就在于W。
如上图右，可表示循环神经网络的计算方式：
otst=g(Vst)(式1)=f(Uxt+Wst−1)(式2)(1)(2)
其中，
式1是输出层的计算公式，输出层是一个全连接层，即每一个节点都与隐藏层的每个节点相连，g代表**函数，
V是输出层的权重矩阵。
式2是隐藏层的计算公式，它是一个循环层，f是**函数，U是输入x的权重矩阵，W是上次值st−1作为这次输入的权重矩阵。
双向循环神经网络
对于语言模型来说，很多时候光看前面的词是不够的，还需要看后面的词。普通的基本循环神经网络对此无法建模，因此，我们需要双向循环神经网络。
从上图可知，双向循环神经网络的隐藏层要保存两个值，一个A参与正向计算，另一个值A′参与反向计算。最后的输出值y2取决于A2和A′2。仿照式1和试2，双向循环神经网络的计算方法如下：
otsts′t=g(Vst+V′s′t)=f(Uxt+Wst−1)=f(U′xt+W′s′t+1)(3)(4)(5)
可以看出：正向计算时，隐藏层的值
st与
st−1有关；反向计算时，隐藏层的值
s′t和
s′t−1有关。正向计算和反向计算
不共享权重，也就是说
U和
U′、
W和
W′、
V和
V′都是不同的权重矩阵。
深度循环神经网络
之前介绍的RNN都是只有一个隐藏层，当堆叠两个以上隐藏层时，就得到了深度循环神经网络
把第i个隐藏层的值表示为s(i)t、s′(i)t，则深度循环神经网络的计算方式可以表示为：
ots(i)ts′(i)t...s(1)ts′(1)t=g(V(i)s(i)t+V′(i)s′(i)t)=f(U(i)s(i−1)t+W(i)st−1)=f(U′(i)s′(i−1)t+W′(i)s′t+1)=f(U(1)xt+W(1)st−1)=f(U′(1)xt+W′(1)s′t+1)(6)(7)(8)(9)(10)(11)
循环神经网络的训练
循环神经网络的训练算法：BPTT
BPTT算法是针对循环层的训练算法，基本原理和BP算法一样，包含三个步骤：
前向计算每个神经元的输出值；
反向计算每个神经元的误差项δj值，它是误差函数E对神经元j的加权输入netj的偏导数；
计算每个权重的梯度。
最后再用随机梯度下降算法更新权重。
循环层如下图所示：
1. 前向计算
使用式2对循环层进行前向计算：
st=f(Uxt+Wst−1)
上式中，
st、
xt、
st−1都是向量，U、V是矩阵，向量的下标表示时刻。
2. 误差项的计算
BTPP算法将第l层的t时刻的误差项δlt值沿两个方向传播，一个方向是传递到上一层网络，得到δl−1t值，这部分只与U有关；另一方向是沿时间线传递到初始t1时刻，得到δl1值，这部分只与W有关。
我们用向量nett表示神经元在t时刻的加权输入，因为：
nettst−1=Uxt+Wst−1=f(nett−1)(12)(13)
因此（详细推导此处略过，详情见链接）：
∂nett∂nett−1=∂nett∂st−1∂st−1∂nett−1=Wdiag[f′(nett−1)]=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢w11f′(nett−11)w21f′(nett−11)wn1f′(nett−11)w12f′(nett−12)w22f′(nett−12)..wn2f′(nett−12).........w1nf(nett−1n)w2nf(nett−1n)wnnf′(nett−1n)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥(14)(15)(16)
上式描述了将δ沿时间往前传递一个时刻的规律，根据这个规律，可以求得任意时刻k的误差项
δk：
δTk=====∂E∂netk∂E∂nett∂nett∂netk∂E∂nett∂nett∂nett−1∂nett−1∂nett−2...∂netk+1∂netkWdiag[f′(nett−1)]Wdiag[f′(nett−2)]...Wdiag[f′(netk)]δltδTt∏i=kt−1Wdiag[f′(neti)](式3)(17)(18)(19)(20)(21)
式3是将误差项沿时间反向传播的算法。
循环层将误差项反向传递到上一层网络，与普通的全连接层完全一样。
(δl−1t)T===∂E∂netl−1t∂E∂netlt∂netlt∂netl−1t(δlt)TUdiag[f′l−1(netl−1t)](式4)(22)(23)(24)
式4就是将误差项传递到上一层的算法。
3. 权重梯度的计算
首先，我们计算误差函数E对权重矩阵W的梯度∂E∂W.
上图展示了前两步已经计算得到的值，包括每个时刻t循环层的输出值st以及误差项δt。
梯度计算算法：只要知道了任意一个时刻的误差项δt，以及上一个时刻循环层的输出值st−1，就可以按照下面的公式求出权重矩阵在t时刻的梯度∇WtE:
∇WtE=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢δt1st−11δt2st−11..δtnst−11δt1st−12δt2st−12δtnst−12.........δt1st−1nδt2st−1nδtnst−1n⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥(式5)
我们求得了权重矩阵W在t时刻的梯度
∇WtE，最终的梯度
∇WE是各个时刻的梯度
之和（至于为什么是“和”，详细推导见链接）：
∇WE==∑i=1t∇WiE⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢δt1st−11δt2st−11..δtnst−11δt1st−12δt2st−12δtnst−12.........δt1st−1nδt2st−1nδtnst−1n⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥+...+⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢δ11s01δ12s01..δ1ns01δ11s02δ12s02δ1ns02.........δ11s0nδ12s0nδ1ns0n⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥(式6)(25)(26)
式6就是计算循环层权重矩阵W的梯度的公式。
RNN的梯度爆炸和消失问题
不幸的是，前面提到的几种RNNs都不能很好的处理较长的序列。原因是RNN在训练中很容易发生梯度爆炸和梯度消失，这导致训练梯度不能在较长序列中一直传递下去，从而使RNN无法捕捉到长距离的影响。（具体原因见链接）
处理梯度爆炸：设置一个梯度阈值，当梯度超过这个阈值时可以直接截取。
处理梯度消失：
合理的初始化权重值。初始化权重，使每个神经元尽可能不要取极大值或极小值，以躲开梯度消失的区域。
使用ReLU代替Sigmoid和tanh作为**函数。
使用其他结构的RNNs，如长短时记忆网络（LTSM）和Gated Recurrent Unit（GRU）。
