机器人学习笔记

参考文献：

• [1]. 机器人学导论（第四版）
• [2]. Robot modeling and control

1. 线速度和角速度

角速度矢量表达式，
$\omega=\dot\theta\hat k$ω=θ˙k^
这里，
$\hat k$k^，表示旋转轴方向的单位矢量，
$\theta$θ，表示旋转体上任一点垂直于旋转轴扫过的角度。
物体的转动本身是脱离坐标系的，只有其旋转轴是定义在坐标系中的。

线速度矢量表达式，
$\upsilon=\omega\times r$υ=ω×r
这里，
$r$r，是原点到旋转体上任一点的矢量。

这里注意一个概念，机器人中每个刚体都附加一个坐标系，那么刚体的旋转与坐标系旋转是等价的（任一点扫过的角度相同），因此角速度被认为是坐标系的属性，用于描述姿态，而不是点的属性。但是，点可以有线速度的属性¹。

下面的一个问题，固定矢量$^BP$BP相对于坐标系${B}$B不变，但坐标系${B}$B是旋转的，问在坐标系${A}$A中$P$P矢量的线速度矢量是什么？
答案是，
${^AV_P={}^A\omega_B\times{}^AP}$AVP​=AωB​×AP
这里，${}^AP={}^A_BR\space{}^BP$AP=BA​R BP。这个结果教材[1]给出了两种证明，公式(5.10)给出了几何解析结果，公式(5.28)给出了基于反对称矩阵$S$S的推导方法。
这里的角速度矢量${}^A\omega_B$AωB​该怎么理解呢？由$\omega=\dot\theta\hat k$ω=θ˙k^可知它表示坐标系$B$B的旋转轴方向的单位矢量是在坐标系$A$A中表达的，而$B$B的$xyz$xyz轴扫过的角度的导数$\dot\theta$θ˙是这个矢量的分量。

如果$P$P在$B$B中是移动的，且$B$B相对于$A$A也是移动的，联立线速度和角速度，可得到$P$P在$A$A中线速度矢量的普遍公式，
$^AV_P={}^AV_{BORG}+{}^A_BR\space{}^BV_P+{}^A\omega_B\times{}^A_BR\space{}^BP$AVP​=AVBORG​+BA​R BVP​+AωB​×BA​R BP
式中，
${}^AV_{BORG}$AVBORG​，表示坐标系$B$B相对于$A$A的平移速度，
${}^A_BR\space{}^BV_P$BA​R BVP​，表示由于矢量$P$P在$B$B中移动产生的相对于坐标系$A$A的移动速度，
${}^A\omega_B\times{}^A_BR\space{}^BP$AωB​×BA​R BP，表示由于$B$B旋转产生的$P$P相对于坐标系$A$A的移动速度。

2. 连杆的运动

以下两个重要的公式的用途是：将关节的转动转化为工作空间的线速度（位置position的导数）和角速度（姿态pose的导数）。

连杆$(i+1)$(i+1)相对于连杆${i}$i在坐标系$(i+1)$(i+1)中的角速度矢量由两部分组成，
$^{i+1}\omega_{i+1}={}^{i+1}_iR\space{}^i\omega_i+\dot\theta_{i+1}\space{}^{i+1}\hat{Z}_{i+1}$i+1ωi+1​=ii+1​R iωi​+θ˙i+1​ i+1Z^i+1​
这里，
$^{i+1}\omega_{i+1}$i+1ωi+1​，表示连杆$(i+1)$(i+1)的旋转轴定义在$(i+1)$(i+1)坐标系中，
${}^{i+1}_iR\space{}^i\omega_i$ii+1​R iωi​，代表连杆$i$i的转动，其转动轴定义在坐标系$i$i中，通过${}^{i+1}_iR$ii+1​R变换到$(i+1)$(i+1)中，
$\dot\theta_{i+1}\space{}^{i+1}\hat{Z}_{i+1}$θ˙i+1​ i+1Z^i+1​，表示连杆$(i+1)$(i+1)的转动，其转动轴是$(i+1)$(i+1)坐标系中的$\hat{Z}$Z^轴。

连杆$(i+1)$(i+1)在坐标系$i$i中的线速度${}^{i}\upsilon_{i+1}$iυi+1​（认为是连杆$(i+1)$(i+1)末端相对于坐标系$i$i的原点的线速度），也有两部分组成，
${}^{i}\upsilon_{i+1}={}^i\upsilon_i+{}^i\omega_i\times{}^iP_{i+1}$iυi+1​=iυi​+iωi​×iPi+1​
这里，
${}^iP_{i+1}$iPi+1​指向的坐标系$(i+1)$(i+1)的原点，也是连杆$(i+1)$(i+1)的起点，
${}^i\upsilon_i$iυi​，代表连杆$i$i的末端相对于坐标系$i$i原点的线速度，
${}^i\omega_i\times{}^iP_{i+1}$iωi​×iPi+1​，表示由连杆${i+1}$i+1转动引起的线速度
对上式两侧乘以${}^{i+1}_iR$ii+1​R得到连杆${i+1}$i+1末端相对于始端的线速度矢量，
${}^{i+1}\upsilon_{i+1}={}^{i+1}_iR\space({}^i\upsilon_i+{}^i\omega_i\times{}^iP_{i+1})$i+1υi+1​=ii+1​R (iυi​+iωi​×iPi+1​)

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1. 参见Robot Modeling and Control P115 ↩︎