LSTM模型与前向反向传播算法
作者：刘建平
编辑：陈人和
前 言
在循环神经网络(RNN)模型与前向反向传播算法中，我们总结了对RNN模型做了总结。由于RNN也有梯度消失的问题，因此很难处理长序列的数据，大牛们对RNN做了改进，得到了RNN的特例LSTM（Long Short-Term Memory），它可以避免常规RNN的梯度消失，因此在工业界得到了广泛的应用。下面我们就对LSTM模型做一个总结。章节目录
从RNN到LSTM
LSTM模型结构剖析
LSTM前向传播算法
LSTM反向传播算法推导关键点
-
LSTM小结
01
从RNN到LSTM
在RNN模型里，我们讲到了RNN具有如下的结构，每个序列索引位置t都有一个隐藏状态
如果我们略去每层都有，则RNN的模型可以简化成如下图的形式：
图中可以很清晰看出在隐藏状态由
和
得到。得到
后一方面用于当前层的模型损失计算，另一方面用于计算下一层的
。
由于RNN梯度消失的问题，大牛们对于序列索引位置t的隐藏结构做了改进，可以说通过一些技巧让隐藏结构复杂了起来，来避免梯度消失的问题，这样的特殊RNN就是我们的LSTM。由于LSTM有很多的变种，这里我们以最常见的LSTM为例讲述。LSTM的结构如下图：
可以看到LSTM的结构要比RNN的复杂的多，真佩服牛人们怎么想出来这样的结构，然后这样居然就可以解决RNN梯度消失的问题？由于LSTM怎么可以解决梯度消失是一个比较难讲的问题，我也不是很熟悉，这里就不多说，重点回LSTM的模型本身。
02
LSTM模型结构剖析
上面我们给出了LSTM的模型结构，下面我们就一点点的剖析LSTM模型在每个序列索引位置t时刻的内部结构。
从上图中可以看出，在每个序列索引位置t时刻向前传播的除了和RNN一样的 隐藏状态，还多了另一个隐藏状态，如图中上面的长横线。这个隐藏状态我们一般称为细胞状态(Cell State)，记为
。如下图所示：
除了细胞状态，LSTM图中还有了很多奇怪的结构，这些结构一般称之为门控结构(Gate)。LSTM在在每个序列索引位置t的门一般包括遗忘门，输入门和输出门三种。下面我们就来研究上图中LSTM的遗忘门，输入门和输出门以及细胞态。
2.1 LSTM之遗忘门
遗忘门（forget gate）顾名思义，是控制是否遗忘的，在LSTM中即以一定的概率控制是否遗忘上一层的隐藏细胞状态。遗忘门子结构如下图所示：
图中输入的有上一序列的隐藏状态和本序列数据
，通过一个**函数，一般是sigmoid，得到遗忘门的输出
。由于sigmoid的输出
在[0,1]之间，因此这里的输出f^{(t)}代表了遗忘上一层隐藏细胞状态的概率。用数学表达式即为：
其中Wf,Uf,bf为线性关系的系数和偏倚，和RNN中的类似。σ为sigmoid**函数。
2.2 LSTM之输入门
输入门（input gate）负责处理当前序列位置的输入，它的子结构如下图：
从图中可以看到输入门由两部分组成，第一部分使用了sigmoid**函数，输出为i(t),第二部分使用了tanh**函数，输出为a(t), 两者的结果后面会相乘再去更新细胞状态。用数学表达式即为：
其中Wi,Ui,bi,Wa,Ua,ba,为线性关系的系数和偏倚，和RNN中的类似。σ为sigmoid**函数。
2.3 LSTM之细胞状态更新
在研究LSTM输出门之前，我们要先看看LSTM之细胞状态。前面的遗忘门和输入门的结果都会作用于细胞状态C(t)。我们来看看从细胞状态C(t−1)如何得到C(t)。如下图所示：
细胞状态C(t)由两部分组成，第一部分是C(t−1)和遗忘门输出f(t)的乘积，第二部分是输入门的i(t)和a(t)的乘积即：
其中，⊙为Hadamard积，在DNN中也用到过。
2.4 LSTM之输出门
有了新的隐藏细胞状态C(t)，我们就可以来看输出门了，子结构如下：
从图中可以看出，隐藏状态h(t)的更新由两部分组成，第一部分是o(t), 它由上一序列的隐藏状态h(t−1)和本序列数据x(t)，以及**函数sigmoid得到，第二部分由隐藏状态C(t)和tanh**函数组成, 即：
通过本节的剖析，相信大家对于LSTM的模型结构已经有了解了。当然，有些LSTM的结构和上面的LSTM图稍有不同，但是原理是完全一样的。
03
LSTM前向传播算法
现在我们来总结下LSTM前向传播算法。LSTM模型有两个隐藏态h(t),C(t)，模型参数几乎是RNN的4倍，因为现在多了Wf,Uf,bf,Wa,Ua,ba,Wi,Ui,bi,Wo,Uo,bo这些参数。前向传播过程在每个序列索引位置的过程为：
1）更新遗忘门输出：
2）更新输入门两部分输出：
3）更新细胞状态：
4）更新输出门输出：
5）更新当前序列索引预测输出：
04
LSTM反向传播算法推导关键点
有了LSTM前向传播算法，推导反向传播算法就很容易了， 思路和RNN的反向传播算法思路一致，也是通过梯度下降法迭代更新我们所有的参数，关键点在于计算所有参数基于损失函数的偏导数。
在RNN中，为了反向传播误差，我们通过隐藏状态h(t)的梯度δ(t)一步步向前传播。在LSTM这里也类似。只不过我们这里有两个隐藏状态和
。这里我们定义两个δ，即：
反向传播时只使用了,变量
仅为帮助我们在某一层计算用，并没有参与反向传播，这里要注意。如下图所示：
而在最后的序列索引位置τ的和
为:
接着我们由。
的梯度由本层的输出梯度误差决定，即：
而的反向梯度误差由前一层
的梯度误差和本层的从
传回来的梯度误差两部分组成，即：
有了和
， 计算这一大堆参数的梯度就很容易了，这里只给出Wf的梯度计算过程，其他的Uf,bf,Wa,Ua,ba,Wi,Ui,bi,Wo,Uo,bo，V,c的梯度大家只要照搬就可以了。
05
LSTM小结
LSTM虽然结构复杂，但是只要理顺了里面的各个部分和之间的关系，进而理解前向反向传播算法是不难的。当然实际应用中LSTM的难点不在前向反向传播算法，这些有算法库帮你搞定，模型结构和一大堆参数的调参才是让人头痛的问题。不过，理解LSTM模型结构仍然是高效使用的前提。
END
往期回顾之作者刘才权
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