线性代数——线性组合、线性空间、基底

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线性组合

线性组合就是关于向量的加法和向量的数乘的组合运算，即：
au⃗+bv⃗$a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$

线性空间

线性空间就是，若干个向量通过线性组合所得到的一个集合。
以下用两个向量的线性组合为例，更多的向量也可类推。
1. u⃗,v⃗两向量不共线.$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}两向量不共线.$
则两向量的线性组合au⃗+bv⃗$a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$可以得到二维平面内任意的向量，即：
au⃗+bv⃗$a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$得到的集合是一个二维平面。

1. u⃗,v⃗两向量共线.$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}两向量共线.$
   则两向量的线性组合au⃗+bv⃗$a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$可以得到v⃗$\overrightarrow{v}$所在直线上的任意的向量，即所得到的集合时一条直线。
   
2. u⃗,v⃗两向量为0⃗.$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}两向量为\overrightarrow{0}.$
   则两向量的线性组合au⃗+bv⃗,$a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v},$只能得到0⃗$\overrightarrow{0}$，即所得集合始终为一个点。

将第一种情况，称为线性无关，后两种情况称为线性相关。
在几何上，线性无关就是对于给定的向量u⃗，v⃗$\overrightarrow{u}，\overrightarrow{v}$，任何一个向量w⃗$\overrightarrow{w}$，都能通过u⃗，v⃗$\overrightarrow{u}，\overrightarrow{v}$的线性组合（放缩、平移）得到；而线性相关，不能由给定的向量得到任意的向量w⃗$\overrightarrow{w}$.

基底

基底需要通过线性组合表示所在线性空间的任意向量，因此作为基底的向量必定是线性无关的。