图、网络与线性代数的关系

之前学习的课程中，接触到的向量，矩阵都是我们自己假定的，但是实际应用中，矩阵的来源是有实际意义的，如研究图的拓扑结构时，我们用到的关联矩阵。

如图所示的拓扑结构:

上面的图结构中，一共有4个结点，5条边，如果转化为关联矩阵(5* 4)，为：
${ \left[ \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ \end{array} \right ]}$⎣⎢⎢⎢⎢⎡​−10−1−10​1−1000​0110−1​00011​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​

首先，我们观察该矩阵，发现
$行 1 + 行 2 = 行3$行1+行2=行3
所以前三行线性相关，然后观察图结构可知，前三行可以构成一个回路。

• 如果我们将各个结点的值，看作是一个电势的话，可知 AX = 0 代表的就是使得所有的电势差为0的各个结点电势，即 矩阵A 的零空间，我们可以通过直观求解这个矩阵，当然也可以从含义出发进行分析，只有各个结点的电势都想同时，才可以，所以该零空间的基为${ \left[ \begin{array}{ccc} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right ]}$⎣⎢⎢⎡​1111​⎦⎥⎥⎤​
  所以有该空间的维度为1，所以有 $rank = n -C(N(A)) = 3$rank=n−C(N(A))=3
  这里，应该注意，零空间的维度为1，应该是不变的

• 同理，我们来分析该矩阵的左零空间，即A 转置的零空间，从矩阵出发，我们有该空间维度 为
  $dim(C(N(A^T))) = m - rank = 5 - 3 = 2$dim(C(N(AT)))=m−rank=5−3=2
  其实，此时我们可以理解，左零空间的向量即为表示各个边上面的电流，是满足 $流出 = 流入$流出=流入
  所以我们直接零 第一个为 1，看图来进行求解，可以得到
  ${ \left[ \begin{array}{ccc} 1 \\ 1 \\ -1 \\ 0\\ 0 \end{array} \right ]}$⎣⎢⎢⎢⎢⎡​11−100​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​
  我们发现此时，刚好可以构成一个回路，即第一个回路，
  由此设想，另外一个基，就可以是表示另外一个回路，
  ${ \left[ \begin{array}{ccc} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1\\ 1 \end{array} \right ]}$⎣⎢⎢⎢⎢⎡​001−11​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​
  即两个即，表示两个不想关的回路

• 同理，我们来分析该矩阵的行空间，当然如果直接数学来分析，我们可以很快给出答案
  $dim(R(A)) = rank = 3$dim(R(A))=rank=3
  分析行空间，维度表示，有3个线性无关的行向量，即不能组成回路的边的最大数目，为3，我们发现，比如 1，2，4就可以组成一个非回路，但是超过3，就不行，当然也不是任意三个，因为1，2，3就可以组成回路

• 由
  $dim(N(A^T)) = m - r$dim(N(AT))=m−r
  => $dim(N(A^T)) = m - (n-dim(N(A)))$dim(N(AT))=m−(n−dim(N(A)))
  由于dim(N(A)) = 1 是固定的，所以我们有
  $dim(N(A^T)) = m - (n-1)$dim(N(AT))=m−(n−1)
  我们可知dim(N(A^T))表示有多少个独立的回路，m 表示边的数目，n 表示结点数目，所以有
  $node + loop - edges = 1$node+loop−edges=1
  也就是著名的欧拉公式

理一遍思路

• 最开始，我们给出一个图，我们可以认为是一个电路图，当然在默认没有外部电压、电源干涉的情况下，AX 可以理解为在 各个点电压为
  ${ \left[ \begin{array}{ccc} x_1 & x_2 & x3…… x_n \end{array} \right ]}$[x1​​x2​​x3……xn​​]情况下的各个边的电势差，所以我们分析，当电势差处处为0时，我们有 AX = 0,即解为A零空间，而且此空间的基一定为 ${ \left[ \begin{array}{ccc} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right ]}$⎣⎢⎢⎡​1111​⎦⎥⎥⎤​零空间维度为1

• 然后我们由欧姆定律：
  $I = U/R$I=U/R
  可知，$AX 为 U=> I = c \times AX$AX为U=>I=c×AX
  然后我们根据每个结点的流进进出相同，相加为0，所以有
  $A^T \times I = 0$AT×I=0
  =>
  $A^T \times c \times AX = 0$AT×c×AX=0
  这个公式总是成立的，为基尔霍夫电流定律

• 当然这个是在无外部电压、电流情况下才成立～