复习思路

这次复习线性代数是为了给机器学习、数值分析、最优化理论三门课程打基础（这三门课程里面的矩阵使用实在太多、太深）。具体来说是要对行列式、矩阵运算、矩阵分解、线性变换里面的基础概念记忆。纸质的笔记仅列出概念，要求自己看到后能理解，算是对复习效果的自测。有时间的话把详细内容放在知乎上，以便以后复习。这次疫情我什么书也没带，因此深切感受到把笔记放在网上的重要性。

线性代数的问题是解线性方程组，记忆概念最好围绕具体解方程的问题展开。我一直不太赞同很多数学书前言中提出的

要用数学严谨、全面的思维学习

​ 我反而比较认同3Brown1Blue制作人Grant的观点。

学习一个数学概念的时候开始可以只学习简陋的（甚至错误的）结论，在使用和之后的学习过程中不断地完善这个结论

之前已经学过线性代数，用的国外教材（Linear Algebra and It’s Application），感觉这本书浅显易懂，而且作者举了很多实际科研应用中的例子．书里面讲解的内容都很基础，没有专门对付考试的套路．这次想找丘维声的高等代数来看看，很多比较难的地方就跳过去了，全当回忆基础概念．

基础介绍

• 线性代数是对解方程和线性空间/线性映射的讨论
• 集合上映射的定义：像、原像、定义域、培域
• 满射、单设、双射
• 映射的乘积：结合律
• 恒等映射，集合A上记作$1_A$1A​
• 逆映射、可逆映射、左满右单、冲有条件

第一章 线性方程组解法

• 线性代数的出发点和矩阵的提出都源自n元线性方程组。核心问题就是怎么解方程（一直记得大一时，老师说这句话时，我心想这也太简单了……现在想起来当年还是naive）
• 方程组的初等变换、阶梯形方程组、同解定义
• 增广矩阵、阶梯形矩阵、矩阵初等换变换、主元
• 简化行阶梯形矩阵（作用）
• 判断n元线性方程组无解、有解（1个/无数个）
• 齐次线性方程->系数矩阵
• 零解、非零解（无数个姐）

行列式

一、意义：

我们已经知道高斯消元法解n个n元方程组，这一套方法自成体系，完全可以解决解方程的问题．现在我们想用系数矩阵的性质直接判断齐次方程组是否有唯一解．

二、.逆序数

1.逆序数：在一个排列中，逆序的数量即为一个排列的逆序数，记为$\tau(排列)$τ(排列)．

例如排列2431，其中逆序为43、12、13、14。那么$\tau(2431) = 4$τ(2431)=4

偶排列和奇排列：逆序数为偶数为偶排列，否则为奇排列。

2.定理：对换改变排列的奇偶性。

3.定理：任一n元排列与排列1，2，……，n可以经过一系列对换互变，并且所作对换的次数与这个n原排列有相同的奇偶性。

4.定理：在全部n原排列（n > 1）中，奇偶排列各占一半

三、行列式

1.定义：n阶矩阵$A = (a_{ij})$A=(aij​)的行列式为
$\left| \begin{matrix} a_{11}& \cdots& a_{1n}\\ \vdots& \quad& \vdots\\ a_{n1}& \cdots& a_{nn} \end{matrix} \right|= \sum_{j_1 j_2 \cdots j_n} (-1)^{\tau(j_1 j_2 \cdots j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$∣∣∣∣∣∣∣​a11​⋮an1​​⋯⋯​a1n​⋮ann​​∣∣∣∣∣∣∣​=j1​j2​⋯jn​∑​(−1)τ(j1​j2​⋯jn​)a1j1​​a2j2​​⋯anjn​​
其中$j_1j_2\cdots j_n$j1​j2​⋯jn​表示取遍所有的n元排列

例如二阶矩阵$A = \begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\\ \end{pmatrix}$A=(a11​a21​​a12​a22​​)，的行列式有2!项。结果为$a_{12}a_{22} + a_{12}a_{21}$a12​a22​+a12​a21​

更一般形式推导：$|A|$∣A∣中的每一项为$(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$(−1)τ(j1​j2​⋯jn​)a1j1​​a2j2​​⋯anjn​​

考虑重新排列$a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$a1j1​​a2j2​​⋯anjn​​为$a_{i_1k_1}a_{i_2k_2}\cdots a_{i_nk_n}$ai1​k1​​ai2​k2​​⋯ain​kn​​

可以证明$(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n} = (-1)^{\tau(i_1i_2\cdots i_n) + \tau(k_1k_2 \cdots k_n)}a_{i_1k_1}a_{i_2k_2}\cdots a_{i_nk_n}$(−1)τ(j1​j2​⋯jn​)a1j1​​a2j2​​⋯anjn​​=(−1)τ(i1​i2​⋯in​)+τ(k1​k2​⋯kn​)ai1​k1​​ai2​k2​​⋯ain​kn​​

因此可以得到

$|A| = \sum_{i_1i_2 \cdots i_n} (-1)^{\tau(i_1i_2 \cdots j_n) + \tau(k_1k_2\cdots k_n)} a_{i_1k_1}a_{i_2k_2}\cdots a_{i_nk_n}$∣A∣=i1​i2​⋯in​∑​(−1)τ(i1​i2​⋯jn​)+τ(k1​k2​⋯kn​)ai1​k1​​ai2​k2​​⋯ain​kn​​

2.按行（列）展开的形式表示行列式：

余子式：n级矩阵$A = (a_{ij})$A=(aij​)，划去第i行第j列，剩下的元素按原来的次序排列成n - 1级矩阵，剩下的矩阵的行列式称为余子式，记为$M_{ij}$Mij​。令$A_{ij} = (-1)^{i + j} M_{ij}$Aij​=(−1)i+jMij​称为代数余子式

行列式：行列式|A|等于第i行元素与自己的代数余子式乘积之和
$|A| = \sum^n_{j = 1} a_{ij}M_{ij}$∣A∣=j=1∑n​aij​Mij​
注：对任意一列也可以做相同的展开得到行列式。

4.行列式性质

性质1：$|A| = |A^T|$∣A∣=∣AT∣

性质2：矩阵A某一行乘上系数k得到矩阵B，则$|B| = k|A|$∣B∣=k∣A∣
$\left| \begin{matrix} a_{11}& \cdots& a_{1n}\\ \vdots& \quad& \vdots\\ ka_{i1}& \cdots& ka_{in}\\ \vdots& \quad& \vdots\\ a_{n1}& \cdots& a_{nn} \end{matrix} \right| = k \left| \begin{matrix} a_{11}& \cdots& a_{1n}\\ \vdots& \quad& \vdots\\ a_{i1}& \cdots& a_{in}\\ \vdots& \quad& \vdots\\ a_{n1}& \cdots& a_{nn} \end{matrix} \right|$∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​⋮kai1​⋮an1​​⋯⋯⋯​a1n​⋮kain​⋮ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​=k∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​⋮ai1​⋮an1​​⋯⋯⋯​a1n​⋮ain​⋮ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​
性质3：
$\left| \begin{matrix} a_{11}& \cdots& a_{1n}\\ \vdots& \quad& \vdots\\ b_{i1} + c_{i1}& \cdots& b_{in} + c_{in}\\ \vdots& \quad& \vdots\\ a_{n1}& \cdots& a_{nn} \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} a_{11}& \cdots& a_{1n}\\ \vdots& \quad& \vdots\\ b_{i1}& \cdots& b_{in}\\ \vdots& \quad& \vdots\\ a_{n1}& \cdots& a_{nn} \end{matrix} \right| + \left| \begin{matrix} a_{11}& \cdots& a_{1n}\\ \vdots& \quad& \vdots\\ c_{i1}& \cdots& c_{in}\\ \vdots& \quad& \vdots\\ a_{n1}& \cdots& a_{nn} \end{matrix} \right|$∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​⋮bi1​+ci1​⋮an1​​⋯⋯⋯​a1n​⋮bin​+cin​⋮ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​⋮bi1​⋮an1​​⋯⋯⋯​a1n​⋮bin​⋮ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​+∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​⋮ci1​⋮an1​​⋯⋯⋯​a1n​⋮cin​⋮ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​
性质4：矩阵A对换两行得到矩阵C，则$|C| = -|A|$∣C∣=−∣A∣
$\left| \begin{matrix} a_{11}& \cdots& a_{1n}\\ \vdots& \quad& \vdots\\ a_{k1}& \cdots& a_{kn}\\ \vdots& \quad& \vdots\\ a_{i1}& \cdots& a_{in}\\ \vdots& \quad& \vdots\\ a_{n1}& \cdots& a_{nn} \end{matrix} \right| = - \left| \begin{matrix} a_{11}& \cdots& a_{1n}\\ \vdots& \quad& \vdots\\ a_{i1}& \cdots& a_{in}\\ \vdots& \quad& \vdots\\ a_{k1}& \cdots& a_{kn}\\ \vdots& \quad& \vdots\\ a_{n1}& \cdots& a_{nn} \end{matrix} \right|$∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​⋮ak1​⋮ai1​⋮an1​​⋯⋯⋯⋯​a1n​⋮akn​⋮ain​⋮ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​=−∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​⋮ai1​⋮ak1​⋮an1​​⋯⋯⋯⋯​a1n​⋮ain​⋮akn​⋮ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​
性质5：两行成比例（包括相同），行列式相等

性质6：把矩阵A一行的倍数加到另一行上得到矩阵D（矩阵的基本变换），则$|D| = |A|$∣D∣=∣A∣
$\left| \begin{matrix} a_{11}& \cdots& a_{1n}\\ \vdots& \quad& \vdots\\ a_{k1}& \cdots& a_{kn}\\ \vdots& \quad& \vdots\\ a_{i1} + la_{k1}& \cdots& a_{in} + la_{kn}\\ \vdots& \quad& \vdots\\ a_{n1}& \cdots& a_{nn} \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} a_{11}& \cdots& a_{1n}\\ \vdots& \quad& \vdots\\ a_{k1}& \cdots& a_{kn}\\ \vdots& \quad& \vdots\\ a_{i1}& \cdots& a_{in}\\ \vdots& \quad& \vdots\\ a_{n1}& \cdots& a_{nn} \end{matrix} \right|$∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​⋮ak1​⋮ai1​+lak1​⋮an1​​⋯⋯⋯⋯​a1n​⋮akn​⋮ain​+lakn​⋮ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​⋮ak1​⋮ai1​⋮an1​​⋯⋯⋯⋯​a1n​⋮akn​⋮ain​⋮ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​

线性空间

一、意义

行列式给出了n个n元方程组有无唯一解的判断。对于m个n元方程的解我们还不清楚，而研究线性空间和线性空间的向量就可以判断该方程组解的情况，并且用向量表示出解空间

二、线性空间的基本概念

1.定义线性空间：线性空间就是要在空间上定义加法和数乘两种运算，然后然运算满足8种性质

2.定义行向量和列向量：其实向量到底是行还是列不重要，重要的是要统一记号，比如行向量这样写$\vec{a} = (a_1, a_2, \cdots, a_n)$a=(a1​,a2​,⋯,an​)，而列向量写成：
$\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_n \end{pmatrix}$a=⎝⎜⎜⎜⎛​a1​a2​⋮an​​⎠⎟⎟⎟⎞​
3.定义子空间：在原本的线性空间上对加法和数乘封闭

4.向量组$\vec{a_1}, \cdots, \vec{a_n}$a1​​,⋯,an​​：这个概念包括了线性组合，生成子空间$<\vec{a_1}, \cdots, \vec{a_n}>$<a1​​,⋯,an​​>。

注：组和空间都是一个集合

向量组$\vec{a_1}, \vec{a_2}, \cdots, \vec{a_n}$a1​​,a2​​,⋯,an​​的线性组合表示方程组：$k_1\vec{a_1} + k_2\vec{a_2} + \cdots + k_n\vec{a_n} = \vec{\beta}$k1​a1​​+k2​a2​​+⋯+kn​an​​=β​

注：可以把这个式子看成矩阵乘列向量$A\vec{k} = \vec{\beta}$Ak=β​，这就把解方程组的问题彻底转化成了矩阵和线性空间的问题

三、解的推导

1.线性相关充要条件：向量组$\vec{a_1}, \vec{a_2}, \cdots, \vec{a_n},A = (\vec{a_1}, \vec{a_2}, \cdots, \vec{a_n})$a1​​,a2​​,⋯,an​​,A=(a1​​,a2​​,⋯,an​​)：

（1）齐次方程组$x_1\vec{a_1} + x_2\vec{a_2} + \cdots + x_n\vec{a_n} = 0$x1​a1​​+x2​a2​​+⋯+xn​an​​=0有非零解

（2）|A| = 0

2.线性相关/无关条件：类似的等价关系都是从行列式，方程组解的角度考虑

（1）若$\vec{a_1}, \vec{a_2}, \cdots, \vec{a_n}$a1​​,a2​​,⋯,an​​线性无关，则给每个向量加上m个维度向量组还是线性无关

比如给(0, 1),(1, 0)加上一个维度变成(0, 1, 1),(1, 0, 1)两个向量还是线性无关

（2）类似的，如果向量组线性相关，减掉m个维度也线性形相关

（3）过渡矩阵：如果向量组$\vec{a_1}, \cdots, \vec{a_n}$a1​​,⋯,an​​线性无关，且
$\vec{\beta_1} = b_{11}\vec{a_1} + \cdots + b_{n1}\vec{a_n}\\ \vdots\\ \vec{\beta_n} = b_{1n}\vec{a_1} + \cdots + b_{nn}\vec{a_n}$β1​​=b11​a1​​+⋯+bn1​an​​⋮βn​​=b1n​a1​​+⋯+bnn​an​​
则向量组$\vec{\beta_1}, \cdots, \vec{\beta_n}$β1​​,⋯,βn​​线性无关的充要条件是过渡矩阵|P| = 0，即
$|P| = \left| \begin{matrix} b_{11}& \cdots& b_{1n}\\ \vdots& \quad& \vdots\\ b_{n1}& \cdots& b_{nn} \end{matrix} \right| = 0$∣P∣=∣∣∣∣∣∣∣​b11​⋮bn1​​⋯⋯​b1n​⋮bnn​​∣∣∣∣∣∣∣​=0
注：这个过渡矩阵一般用在之后的换线性空间的基的时候

3.秩：向量组的秩$rank{a_1, \cdots, a_n} = $极大线性无关组的向量个数

秩判断方程组解定理：如果向量组$\vec{a_1}, \cdots, \vec{a_n}$a1​​,⋯,an​​和$\vec{a_1}, \cdots, \vec{a_n}, \vec{\beta}$a1​​,⋯,an​​,β​秩相等则方程组$x_1\vec{a_1} + \cdots + x_n\vec{a_n} = \vec{\beta}$x1​a1​​+⋯+xn​an​​=β​有解

4.线性空间V的基S：向量组S线性无关，且能线性表示空间中所有的向量

例如：二维空间中的(1, 0), (0, 1)

定理：线性空间的维度$dim V =$dimV= 基中的向量个数

行秩和列秩：矩阵的行向量的秩 = 矩阵的列向量的秩（感觉这个证明还是很重要的，很多初等变换和矩阵证明手法都用到了）

定理：$rank\{A\} = rank\{A'\}$rank{A}=rank{A′}

定理：非零矩阵的秩等于它不为0子式（本质上是子矩阵的行列式）的最高阶数

对于n阶方阵A：$rank\{A\} = n$rank{A}=n等价于$|A| \neq 0$∣A∣​=0

5.（回答本章的问题）方程组有解的充要条件：增广矩阵和系数矩阵的秩相等（根据秩判断方程组解定理已经很容易看出）。下证：
$\begin{aligned} &x_1\vec{a_1} + \cdots + x_n\vec{a_n} = \vec{\beta}\\ \Leftrightarrow &\vec{\beta} \in <\vec{a_1}, \cdots, \vec{a_n}>\\ \Leftrightarrow &rank\{\vec{a_1}, \cdots, \vec{a_n}, \vec{\beta}\}= rank\{\vec{a_1}, \cdots, \vec{a_n}\}\\ \Leftrightarrow&增广矩阵秩 = 系数矩阵秩 \end{aligned}$⇔⇔⇔​x1​a1​​+⋯+xn​an​​=β​β​∈<a1​​,⋯,an​​>rank{a1​​,⋯,an​​,β​}=rank{a1​​,⋯,an​​}增广矩阵秩=系数矩阵秩​
系数矩阵判断：n元线性方程组系数矩阵A，如果rank{A} = n，则有唯一解，若小于n有无数解

6.（回答本章问题）解方程的办法（n元齐次方程组，系数矩阵A）

解空间W是线性空间$R^n$Rn的子空间，因此用基表示W，且dim W = n - rank(A)

（1）将A化简为简约阶梯型，不妨设主元在前n列$1, 2, \cdots, r$1,2,⋯,r

（2）得到解的统一表示，其中$x_{r + 1}, \cdots, x_n$xr+1​,⋯,xn​可以是任何数
$\begin{cases} x_1 = b_{1r+1}x_{r + 1} - \cdots -b_{1n}x_{n}\\ x_2 = b_{2r+1}x_{r + 1} - \cdots -b_{2n}x_{n}\\ \vdots\\ x_r = b_{rr+1}x_{r+1} - \cdots -b_{rn}x_{n} \end{cases}$⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​x1​=b1r+1​xr+1​−⋯−b1n​xn​x2​=b2r+1​xr+1​−⋯−b2n​xn​⋮xr​=brr+1​xr+1​−⋯−brn​xn​​
（3）不妨给$x_{r + 1}, \cdots, x_n$xr+1​,⋯,xn​取n - r个不同的值分别为
$\begin{pmatrix} 1\\0\\ \vdots\\0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\1\\ \vdots\\0 \end{pmatrix} \cdots \begin{pmatrix} 0\\0\\\vdots\\1 \end{pmatrix}$⎝⎜⎜⎜⎛​10⋮0​⎠⎟⎟⎟⎞​⎝⎜⎜⎜⎛​01⋮0​⎠⎟⎟⎟⎞​⋯⎝⎜⎜⎜⎛​00⋮1​⎠⎟⎟⎟⎞​
（4）得到的n - r个解向量组$\eta_1, \cdots, \eta_{n - r}$η1​,⋯,ηn−r​
$\begin{pmatrix} -b_{1r+1}\\ -b_{2r+1}\\ \vdots \\-b_{rr+1}\\1\\0\\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \cdots \begin{pmatrix} -b_{1n}\\ -b_{2n}\\ \vdots \\-b_{rn}\\0\\0\\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}$⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛​−b1r+1​−b2r+1​⋮−brr+1​10⋮0​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞​⋯⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛​−b1n​−b2n​⋮−brn​00⋮1​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞​
（5）下证明所有解都可以由上述解向量组线性表示
$\eta = \begin{pmatrix} c_1\\ c_2\\ \vdots \\c_n \end{pmatrix} \begin{cases} c_1 = -b_{1r+1}c_{r+1} - \cdots -b_{1n}c_n\\ c_2 = -b_{2r+1}c_{r+1} - \cdots -b_{2n}c_n\\ \vdots\\ c_r = -b_{rr+1}c_{r+1} - \cdots -b_{rn}c_n \end{cases}$η=⎝⎜⎜⎜⎛​c1​c2​⋮cn​​⎠⎟⎟⎟⎞​⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​c1​=−b1r+1​cr+1​−⋯−b1n​cn​c2​=−b2r+1​cr+1​−⋯−b2n​cn​⋮cr​=−brr+1​cr+1​−⋯−brn​cn​​
显然，可以由解向量组表示$\eta = c_{r + 1}\eta_1 + c_{r + 2}\eta_{2} + \cdots + c_{n}\eta_{n - r}$η=cr+1​η1​+cr+2​η2​+⋯+cn​ηn−r​

得到解空间W的描述，即向量组$\eta_1, \cdots, \eta_{n - r}$η1​,⋯,ηn−r​

非齐次方程：解出一个特解，然后去掉常数项变成齐次方程解出一组基，将特解加到基上即可得到结果。

四、更深入的话题

1.定义线性子空间中+运算（满足交换律，结合律）：
$V_1 + V_2 = \{\alpha_1 + \alpha_2| \alpha_1 \in V_1, \alpha_2 \in V_2\}$V1​+V2​={α1​+α2​∣α1​∈V1​,α2​∈V2​}

线性子空间的交$\cap$∩运算，加$+$+运算结果为线性子空间

2.维度公式：$dim(V_1 + V_2) = dimV_1 + dimV_2 - dim(V_1 \cap V_2)$dim(V1​+V2​)=dimV1​+dimV2​−dim(V1​∩V2​)

3.定义直和：$V_1, V_2$V1​,V2​是数域K上的线性空间V的子空间，如果
$\forall \vec{\alpha} \in V_1 + V_2\\ \vec{\alpha} = \vec{\alpha}_1 + \vec{\alpha}_2 \quad \vec{\alpha}_1 \in V_1\, \vec{\alpha}_2 \in V_2$∀α∈V1​+V2​α=α1​+α2​α1​∈V1​α2​∈V2​
则$V_1 + V_2$V1​+V2​为直和，记作$V_1 \oplus V_2$V1​⊕V2​，如下图

直和的等价条件：

（1）$V_1 + V_2$V1​+V2​是直和

（2）$V_1 + V_2$V1​+V2​中零向量表示法唯一

（3）$V_1 \cap V_2 = 0$V1​∩V2​=0

（4）$V_1, V_2$V1​,V2​的基$S_1, S_2$S1​,S2​合起来是$V_1 + V_2$V1​+V2​的一个基

（5）$dim(V_1 + V_2) = dimV_1 + dimV_2$dim(V1​+V2​)=dimV1​+dimV2​

4.定义补空间：如果$V_1 \oplus V_2$V1​⊕V2​则$V_1$V1​和$V_2$V2​互为补空间

定理：$V_1, V_2$V1​,V2​的基合起来是V的基，则$V = V_1 \oplus V_2$V=V1​⊕V2​

5.定义同构映射：$\exist \sigma:V \rightarrow V'$∃σ:V→V′满足下面条件，则V和V’是同构的
$\sigma(\alpha + \beta) = \sigma(\alpha) + \sigma(\beta)\\ \sigma(k\alpha) = k\sigma(\alpha)$σ(α+β)=σ(α)+σ(β)σ(kα)=kσ(α)
基相等定理：如果$\vec{\alpha}_1, \cdots, \vec{\alpha}_n$α1​,⋯,αn​是V的基则$\sigma(\vec{\alpha}_1), \cdots, \sigma(\vec{\alpha}_n)$σ(α1​),⋯,σ(αn​)是V’的基

同构充分条件：两个空间维数相等

建立同构：数域K上任意n维线性空间与$K^n$Kn同构，同构映射即$V中向量\rightarrow K^n$V中向量→Kn中的坐标

等价关系：同构关系是所有线性空间组成的集合上的等价关系

6.陪集（讨论一个线性空间内的等价关系）

（1）定义等价二元等价关系$\vec{\beta} \sim\vec{\alpha}$β​∼α：$\vec{\beta} - \vec{\alpha}\in W$β​−α∈W（W为V的线性子空间）

（2）构造划分：满足二元等价关系的所有$\vec{\alpha}$α组成集合$U_W$UW​，所有的U就是线性空间V的一个划分

（3）定义陪集：把$U_W$UW​称为子空间W的陪集，记为$\alpha + W$α+W，称$\alpha$α为这个陪集的代表

注：W可以有很多陪集，这些陪集就是线性空间的划分

7.商集：W所有等价类组成的集合称为V的一个商集，记为V/W，表示为$V/W = \{\alpha + W| \alpha \in W\}$V/W={α+W∣α∈W}

注：商集是的元素是集合

商空间：可证V/W是数域K上的线性空间，被称为V对于子空间W的商空间

定理：$dim(V/M) = dimV - dimW$dim(V/M)=dimV−dimW

定理：W是V的子空间，如果商空间V/W的一个基为$\vec{\beta}_1 + W, \cdots, \vec{\beta}_t + W$β​1​+W,⋯,β​t​+W，令$B = <\beta_1, \cdots, \beta_t>$B=<β1​,⋯,βt​>，则$V = W \oplus U$V=W⊕U，并且$\beta_1, \cdots, \beta_t$β1​,⋯,βt​是B的一个基

矩阵的运算

一、意义

已经看到解线性方程组可以化成矩阵的运算，因此在这一章详细讨论矩阵的运算，帮助解线性方程组．

起始矩阵的运算这一章一般人学过之后印象都比较深刻，所以感觉比较简单复习的时候扫描一下即可．

二、基础运算

1.运算：数乘，加法，乘法

运算律：

（1）结合律：(AB)C = A(BC)

（2）分配律：A(B + C) = AB + AC

（3）转置的关系：(A + B)’ = A’ + B’，(AB)’ = B’A’

2.矩阵的秩：rank(AB) $\leq$≤min{rank(A), rank(B)}

3.过渡矩阵：线性空间V的两组基为$\vec{\alpha}_1, \cdots, \vec{\alpha}_n$α1​,⋯,αn​和$\vec{\beta}_1, \cdots, \vec{\beta}_n$β​1​,⋯,β​n​向量在第一组基下表示的坐标为$\vec{x}$x在第二组基下的坐标为$\vec{y}$y​．根据之前的定义$\vec{\beta}_j$β​j​第一组基下的坐标为过度矩阵P的第j列，那么
$(\vec{\beta}_1, \cdots, \vec{\beta}_n) = (\vec{\alpha}_1, \cdots, \vec{\alpha}_n)P \\ \vec{x} = P\vec{y}$(β​1​,⋯,β​n​)=(α1​,⋯,αn​)Px=Py​

三、矩阵的逆和特殊矩阵（在方阵的条件下）

1.初等矩阵：单位矩阵经过一次初等行变换得到的矩阵称为初等矩阵

定理：初等矩阵左乘矩阵A，相当于对A做同样的初等行变换

基础矩阵：形如下面的矩阵
$\begin{pmatrix} 1& 0& \cdots& 0\\ 0& 0& \cdots& 0\\ \vdots& \vdots& \quad& \vdots\\ 0& 0& \cdots& 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0& 1& \cdots& 0\\ 0& 0& \cdots& 0\\ \vdots& \vdots& \quad& \vdots\\ 0& 0& \cdots& 0 \end{pmatrix} \cdots \begin{pmatrix} 0& 0& \cdots& 0\\ 0& 0& \cdots& 0\\ \vdots& \vdots& \quad& \vdots\\ 0& 0& \cdots& 1 \end{pmatrix}$⎝⎜⎜⎜⎛​10⋮0​00⋮0​⋯⋯⋯​00⋮0​⎠⎟⎟⎟⎞​⎝⎜⎜⎜⎛​00⋮0​10⋮0​⋯⋯⋯​00⋮0​⎠⎟⎟⎟⎞​⋯⎝⎜⎜⎜⎛​00⋮0​00⋮0​⋯⋯⋯​00⋮1​⎠⎟⎟⎟⎞​
注：所有的n阶方阵组成的集合看作线性空间，基础矩阵是这个线性空间的一组基

2.可逆矩阵：A为n阶方阵，若存在B，使得AB = BA = I，则称A可逆，记B为$A^{-1}$A−1

可逆的充要条件：

（1）$|A| \neq 0$∣A∣​=0，且能得出$A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*$A−1=∣A∣1​A∗其中$A^*$A∗为伴随矩阵

（2）A是满秩矩阵

（3）A的列向量（或者行向量）线性无关

（4）A的列向量为空间$K^n$Kn的基

（5）A可以表示成初等矩阵的乘积

运算率：（1）A，B可逆，则AB可逆（2）$(A')^{-1} = (A^{-1})'$(A′)−1=(A−1)′

定理：可逆矩阵左乘A，不改变A的秩

3.逆的计算方法：

（1）如果BA = I，则A，B都可逆，互为彼此的逆

（2）将B用初等矩阵的乘积表示$P_t\cdots P_2P_1A = I$Pt​⋯P2​P1​A=I

（3）$A = P_1^{-1}P_2^{-1}\cdots P_n^{-1} I$A=P1−1​P2−1​⋯Pn−1​I

（4）可知矩阵(A I)经过初等行变换得到矩阵$(I \quad A^{-1})$(IA−1)

4.莫拉克法则（这个翻译好像有点奇怪）：A是数域K上的n级矩阵，当$|A| \neq 0$∣A∣​=0时，n元线性方程组$A\vec{x} = \vec{\beta}$Ax=β​的唯一解为
$(\frac{|B_1|}{|A|}, \frac{|B_2|}{|A|}, \cdots, \frac{|B_n|}{|A|})'$(∣A∣∣B1​∣​,∣A∣∣B2​∣​,⋯,∣A∣∣Bn​∣​)′
其中$B_j$Bj​是把A的第j行换成$\vec{\beta}$β​形成的

思路：由矩阵方程$A\vec{x} = B \Rightarrow \vec{x} = A^{-1}B$Ax=B⇒x=A−1B得到

5.幂等矩阵：如果$A^2 = A$A2=A则A是幂等矩阵

6.矩阵正交：$A_1A_2 = A_2A_1 = 0$A1​A2​=A2​A1​=0则两矩阵正交

定理：n阶方阵$A_1, \cdots, A_s$A1​,⋯,As​正交充要条件为$rank(A) = rank(A_1) + \cdots rank(A_s), A = A_1 + \cdots A_s$rank(A)=rank(A1​)+⋯rank(As​),A=A1​+⋯As​

7.对角矩阵：除主对角线以外的元素全为0

性质：用对角矩阵左乘A，相当于用对角矩阵的对角上的元素称A的行

8.对称矩阵：若A = A’则A为对称矩阵

性质：若A，B为对称矩阵，则AB为对称矩阵的充要条件为AB = BA

四、其他的运算性质

注：这些内容与之后的学习关系不大，在此不详细列出；以后用到了再更新

1.乘积与行列式：|AB| = |A||B|

2.矩阵的分块

3.矩阵相抵

4.矩阵广义逆

线性映射

一、意义

对线性空间进一步研究．对向量的线性映射可以理解为矩阵乘以向量，最终化成线性方程组的形式，因此线性映射核与像表示方程的解空间．进一步由线性映射的特征值引出矩阵的特征值，矩阵对角化的条件．

到这里已经有足够的知识学习机器学习中的奇异分解，估计应该也在数值分析和最优化理论中使用．

二、线性映射基本概念

1. 定义线性映射A：设V，V’是F上的线性空间，V到V’的映射A如果保持加法和数乘运算，则A是线性映射
$A(\vec{\alpha} + \vec{\beta}) = A(\vec{\alpha}) + A(\vec{\beta})\\ A(k\vec{\alpha}) = kA(\vec{\alpha})$A(α+β​)=A(α)+A(β​)A(kα)=kA(α)
概念：线性变换，数乘变换，零变换，恒等变换，零映射（映射是A到A’，变换是A到A）

性质：V的一个基$\vec{\alpha}_1, \cdots, \vec{\alpha}_n$α1​,⋯,αn​，则对于V中$\vec{\alpha} = a_1\vec{\alpha} + \cdots, a_n\vec\alpha_n$α=a1​α+⋯,an​αn​，有：$A(\vec{\alpha}) = a_1A(\vec{\alpha}_1) + \cdots + a_nA(\vec{\alpha}_n)$A(α)=a1​A(α1​)+⋯+an​A(αn​)，注：只要知道了V的一个基，V中每一个向量在A下的像就确定了

构造单射：V中取一个基$\vec{\alpha}_1, \cdots, \vec{\alpha}_n$α1​,⋯,αn​，V’中任取n个向量$\vec{\gamma}_1, \cdots, \vec{\gamma}_n$γ​1​,⋯,γ​n​，构造映射A
$A: V \rightarrow V'\\ \vec{\alpha} = \sum^n_{i = 1}a_i\vec\alpha_i \rightarrow \sum^n_{i = 1}a_i\vec\gamma_i$A:V→V′α=i=1∑n​ai​αi​→i=1∑n​ai​γ​i​
2. 定义Hom(V, V’)：V到V’的所有线性映射

性质：Hom(V, V’)是域F上的线性空间，定义了线性映射的加法和数乘

3. 线性映射的运算

定义Hom(V, V’)：V到V’的所有线性映射，根据下面定义的加法和数乘，Hom(V, V)是线性空间

定义加法，数乘，乘法（满足结合律，分配律）：
$(A + B)\vec\alpha = A\vec\alpha + B\vec\alpha\\ (kA)\vec\alpha = k(A\vec\alpha)$(A+B)α=Aα+Bα(kA)α=k(Aα)
4. 定义F上的代数：线性空间A有加法，乘法，数乘且A对于加法和乘法称为单位元的环，A的乘法和数乘满足：$k(\vec\alpha\vec\beta) = (k\vec\alpha)\vec\beta = \vec\alpha(k\vec\beta)$k(αβ​)=(kα)β​=α(kβ​)，则称A是F域上的一个代数，线性空间A的维数 = 代数A的维数

定义$M_n(F)$Mn​(F)：域F上所有的n阶矩阵（显然$M_n(F)$Mn​(F)维数是$n^2$n2）

5. 定义线性变换多项式集F(A)

（1）有了线性变换的乘法，可以定义线性变换的幂

（2）定义线性变换的多项式$f(A)$f(A)

（3）所有多项式组成集合F(A)，为线性空间

6. 定义投影：设V是域F上的线性空间，若$V = U \oplus W, \, \vec\alpha \in V$V=U⊕W,α∈V设
$\vec\alpha = \vec\alpha_1 + \vec{\alpha}_2, \vec{\alpha}_1 \in U, \vec{\alpha}_2 \in W\\ P_U{\vec{\alpha}} = \vec{\alpha}_1$α=α1​+α2​,α1​∈U,α2​∈WPU​α=α1​
称$P_U$PU​是平行于W在U上的投影，图形解释如下

性质：

（1）$P_U$PU​是V上的线性变换

（2）$P_U = \begin{cases} \vec{\alpha}, \quad \vec{\alpha} \in U\\ 0, \quad \vec{\alpha} \in W \end{cases}$PU​={α,α∈U0,α∈W​

（3）$P_U^2 = P_U$PU2​=PU​

7. 特殊的变换

幂等变换：$A^2 = A$A2=A

正交：AB是零变换，则A，B正交

对合变换：$A^2 = I$A2=I（I为恒等变换）

二、线性映射的核与像

1. 定义核，像：A是V到V’的映射，V的子集$\{\vec\alpha \in V | A \vec{\alpha} = \vec0\}${α∈V∣Aα=0}是A的核，记作KerA；A的值域是A的像，记作ImA

2. 性质

（1）A是单射充要条件：KerA = 0

（2）A是满射充要条件：ImA = V’

（3）对于平行于W的投影$P_U$PU​：$KerP_U = W, ImP_U = U$KerPU​=W,ImPU​=U

（4）同构映射：$V / KerA \cong ImA$V/KerA≅ImA

（5）有限维条件下：$dim(KerA) + dim(ImA) = dimV$dim(KerA)+dim(ImA)=dimV

3. 定义维度，秩：dim(A的核) 称为A的零度，rank(A) = dim(A的像)

4. 定理：A是V上的线性变换，A是单射当且仅当A是满射

5. 线性方程组与线性映射

设线性方程组为$A \vec{x} = 0, A = (\vec{\alpha}_1, \cdots, \vec{\alpha}_n)$Ax=0,A=(α1​,⋯,αn​)，A是$s \times n$s×n矩阵

令线性映射
${\mathscr A} :F^n \rightarrow F^s\\ \qquad \vec{\alpha} \rightarrow A\vec{\alpha}$A:Fn→Fsα→Aα

则解空间$W = Ker \mathscr A$W=KerA

A的列向量空间$<\vec{\alpha}_1, \cdots, \vec{\alpha}_n> = Im \mathscr A$<α1​,⋯,αn​>=ImA

得到$rank(A) = rank(\mathscr A)$rank(A)=rank(A)

注：此处将线性映射写成$\mathscr A$A形式，以区分矩阵

6. 定理：如果线性变换A，$Ker A \cap ImA = 0$KerA∩ImA=0，则$V = KerA \oplus ImA$V=KerA⊕ImA

定理：如果A是幂等变换，则$V = KerA \oplus ImA$V=KerA⊕ImA

定理：A是幂等变换，则$V = ImA \oplus Im(I - A)$V=ImA⊕Im(I−A)

定理：线性变换A，A是幂等变换当且仅当$rank(A) + rank(I - A) = n$rank(A)+rank(I−A)=n

三、线性映射与矩阵

1. 线性变换对应的矩阵：

（1）选定线性空间上的基$\vec{\alpha}_1, \cdots, \vec{\alpha}_n$α1​,⋯,αn​

（2）线性映射$\mathscr A$A表示成以下形式
$\begin{cases} {\mathscr A} \it \vec{\alpha}_1 = a_{11} \vec{\alpha}_1 + \cdots + a_{n1}\vec{\alpha}_n \\ \mathscr A \it \vec{\alpha}_2 = a_{12} \vec{\alpha}_1 + \cdots + a_{n2}\vec{\alpha}_n\\ \vdots \\ \mathscr A \it \vec{\alpha}_n = a_{1n}\vec{\alpha}_1 + \cdots + a_{nn}\vec{\alpha}_n \end{cases}$⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​Aα1​=a11​α1​+⋯+an1​αn​Aα2​=a12​α1​+⋯+an2​αn​⋮Aαn​=a1n​α1​+⋯+ann​αn​​
（3）则A为，线性变换在基$\vec{\alpha}_1, \cdots, \vec{\alpha}_n$α1​,⋯,αn​下的矩阵
$A = \begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& \quad& \vdots&\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{nn} \end{pmatrix}$A=⎝⎜⎜⎜⎛​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮ann​​​⎠⎟⎟⎟⎞​
（4）可以把基写成${\mathscr A} (\vec{\alpha}_1, \cdots, \vec{\alpha}_n) = (\vec{\alpha}_1, \cdots, \vec{\alpha}_n)A$A(α1​,⋯,αn​)=(α1​,⋯,αn​)A

（5）坐标表示：用线性空间基向量$\vec{\alpha}_1, \cdots, \vec{\alpha}_n$α1​,⋯,αn​把$\vec{\alpha}$α表示称坐标$\vec{X}$X；则${\mathscr A}(\vec{\alpha})$A(α)的坐标为$A\vec{X}$AX；

如果选择的基为$\begin{pmatrix}1\\ 0\\ \vdots \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ 1\\ \vdots \end{pmatrix}, \cdots$⎝⎜⎛​10⋮​⎠⎟⎞​,⎝⎜⎛​01⋮​⎠⎟⎞​,⋯那么线性映射可以写为${\mathscr A}: \vec{\alpha} \rightarrow A\vec{\alpha}$A:α→Aα

2.线性映射对应的矩阵：

（1）线性映射从V到V’，选择V中的基$\vec{\alpha}_1, \cdots, \vec{\alpha}_n$α1​,⋯,αn​，V’的基$\vec{\eta}_1, \cdots, \vec{\eta}_s$η​1​,⋯,η​s​

（2）同理有$s \times n$s×n矩阵A
$A = \begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& \quad& \vdots\\ a_{s1}& a_{s2}& \cdots& a_{sn} \end{pmatrix}\\ {\mathscr A}(\vec{\alpha}_1, \cdots, \vec{\alpha}_n) = (\vec{\eta}_1, \cdots, \vec{\eta}_n)A$A=⎝⎜⎜⎜⎛​a11​a21​⋮as1​​a12​a22​⋮as2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮asn​​⎠⎟⎟⎟⎞​A(α1​,⋯,αn​)=(η​1​,⋯,η​n​)A

3.定理：$rank({\mathscr A}) = rank(A)$rank(A)=rank(A)

4.定义映射$\tau$τ

（1）$\tau: Hom(V, V') \rightarrow M_{s \times n}(F)\\ \qquad{\mathscr A} \rightarrow A$τ:Hom(V,V′)→Ms×n​(F)A→A
实际上是“线性映射”到“矩阵”的映射

（2）可以证明$\tau$τ保持加法，乘法，数乘运算

5.线性变换和矩阵的性质

（1）线性变换可逆 等价 矩阵可逆

（2）幂等变换 等价 幂等矩阵

（3）对合变换 等价 对合矩阵

（4）A是幂等矩阵$\iff$⟺rank(A) + rank(I - A) = n

（5）$rank(BA) \geq rank(A) + rank(B) - m$rank(BA)≥rank(A)+rank(B)−m

（6）线性变换$\mathscr A = A_1 + \cdots +A_n$A=A1​+⋯+An​，其中$\mathscr A_1, \cdots, A_n$A1​,⋯,An​是正交的幂等变换当且仅当$\mathscr A$A是幂等变换，且$rank({\mathscr A}) = rank({\mathscr A_1}) + \cdots + rank({\mathscr A_n})$rank(A)=rank(A1​)+⋯+rank(An​)

6.坐标变换：线性空间V上的可逆变换A，V的基为$\vec{\alpha}_1, \cdots, \vec{\alpha}_n$α1​,⋯,αn​和$A\vec{\alpha}_1, \cdots, {A}\vec{\alpha}_n$Aα1​,⋯,Aαn​，则过渡矩阵P是线性变换在$\vec{\alpha}_1, \cdots, \vec{\alpha}_n$α1​,⋯,αn​下的矩阵，也是$\vec{\alpha}_1, \cdots, \vec{\alpha}_n$α1​,⋯,αn​到的$A\vec{\alpha}_1, \cdots, A\vec{\alpha}_n$Aα1​,⋯,Aαn​过渡矩阵

7.相似矩阵

（1）考虑线性变换在基$\vec{\alpha}_1, \cdots, \vec{\alpha}_n$α1​,⋯,αn​下的矩阵A，基$\vec{\eta}_1, \cdots, \vec{\eta}_n$η​1​,⋯,η​n​下的矩阵B，有过渡矩阵P：$(\vec{\eta}_1, \cdots, \vec{\eta}_n) = (\vec{\alpha}_1, \cdots, \vec{\alpha}_n)P$(η​1​,⋯,η​n​)=(α1​,⋯,αn​)P

（2）可证$B = P^{-1}AP$B=P−1AP

（3）A，B为域F上的n级矩阵，若存在可逆矩阵P，使$B = P^{-1}AP$B=P−1AP，则A，B是相似的，记为$A \sim B$A∼B

8.性质

（1）如果线性变换A把V上的基$\vec{\alpha}_1, \cdots, \vec{\alpha}_n$α1​,⋯,αn​映射到基$\vec{\eta}_1, \cdots, \vec{\eta}_n$η​1​,⋯,η​n​，则A在两个基下的矩阵都等于$\vec{\alpha}_1, \cdots, \vec{\alpha}_n$α1​,⋯,αn​到$\vec{\eta}_1, \cdots, \vec{\eta}_n$η​1​,⋯,η​n​的过渡矩阵

（2）若A~B，则|A| = |B|

（3）若A~B，则rank(A) = rank(B)

（4）若A~B，则A可逆当且仅当B可逆$A^{-1} \sim B^{-1}$A−1∼B−1

（5）若A~B，则tr（A）= tr（B）

9.秩：n阶方阵A主对角线上元素的和称为A的迹，记为tr（A）

性质：
$tr(A + B) = tr(A) + tr(B)\\ tr(kA) = k\,tr(A)\\ tr(AB) = tr(BA)$tr(A+B)=tr(A)+tr(B)tr(kA)=ktr(A)tr(AB)=tr(BA)

四、特征值

1.矩阵特征值&特征向量：若$A\vec{\alpha} = \lambda_0 \vec{\alpha}$Aα=λ0​α，则$\lambda_0$λ0​是特征值，$\vec{\alpha}$α是特征向量且不为0向量

特征子空间：$V_{\lambda_0} = \{\vec{\alpha} \in V| A\vec{\alpha} = \lambda_0 \vec{\alpha}\}$Vλ0​​={α∈V∣Aα=λ0​α}

（线性变换的特征值，特征向量，特征子空间于此类似）

性质：不同特征空间中的向量线性无关

2.特征多项式：$|\lambda I - A|$∣λI−A∣（其中$\lambda$λ为未知数）

$\vec{\alpha}$α是A特征向量的等价条件：

（1）$(\lambda_0 I - A)\vec{\alpha} = 0$(λ0​I−A)α=0

（2）$\vec{\alpha}$α是齐次线性方程组$(\lambda_0 I - A)\vec{x} = \vec0$(λ0​I−A)x=0的非零解

性质：$\lambda_0$λ0​ 是A的特征值，当且仅当，$\lambda_0$λ0​是$|\lambda_0 I - A| = 0$∣λ0​I−A∣=0在F中的一个根

3.求特征向量方法：

（1）计算特征多项式$|\lambda I - A|$∣λI−A∣

（2）解出$|\lambda I - A| = 0$∣λI−A∣=0的根，如果没有解则没有特征值和特征向量；否则全部根就是特征值

（3）解出$(\lambda_i I - A) \vec{x} = \vec0$(λi​I−A)x=0的解空间$V_{\lambda_i}$Vλi​​，则解空间中的向量即$\lambda_i$λi​对应的特征向量

4.特征多项式的系数：A是域F上的n阶方阵．特征多项式$|\lambda I - A| = 0$∣λI−A∣=0是n次多项式，$\lambda^n$λn的系数为1，$\lambda^{n-1}$λn−1的系数是-tr(A)，$\lambda^{n - k}$λn−k的系数等于$(-1)^k$(−1)k乘A的所有k阶主子式．

推论：特征多项式的n个复根的和为tr(A)，n个复根的积为|A|

5.相似矩阵性质：相似矩阵的特征多项式和特征值相等

6.几何重数：$\lambda_i$λi​的几何重数是$V_{\lambda_i}$Vλi​​的维度

代数重数：特征值的根的重数

7.定义向量内积：$(\vec{\alpha}, \vec{\beta}) = \vec{\alpha}'\vec{\beta}$(α,β​)=α′β​

正交：$(\vec{\alpha}, \vec{\beta}) = 0$(α,β​)=0，则两向量正交

性质：正交向量一定线性无关，因此有正交基，单位正交基

定理：是对称矩阵A属于不同特征值的特征向量是正交的

五、对角化

1.对角化：如果A相似与一个对角矩阵，那么A可对角化（线性变换类似）

2.可对角化充要条件：

（1）线性变换A可对角化，当且仅当，A的特征向量可组成V的基；主对角线元素为A的特征值的矩阵称标准型

（2）线性变换A可对角化，当且仅当，$V = V_{\lambda_1} \oplus V_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus V_{\lambda_n}$V=Vλ1​​⊕Vλ2​​⊕⋯⊕Vλn​​

（3）线性变换A可对角化，当且仅当，$dim V_{\lambda_1} + dimV_{\lambda_2} + \cdots, + dimV_{\lambda_n} = n$dimVλ1​​+dimVλ2​​+⋯,+dimVλn​​=n

3.矩阵A可对角化充要条件（n阶方阵A）

（1）A有n个线性无关的特征向量$\vec{\alpha}_1, \cdots, \vec{\alpha}_n$α1​,⋯,αn​，此时令$P = (\vec{\alpha}_1, \cdots, \vec{\alpha}_n)$P=(α1​,⋯,αn​)，则$P^{-1}AP = diag\{\lambda_1, \cdots, \lambda_n\}$P−1AP=diag{λ1​,⋯,λn​}

（2）$F^n = V_{\lambda_1} \oplus V_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus V_{\lambda_n}$Fn=Vλ1​​⊕Vλ2​​⊕⋯⊕Vλn​​

（3）$dimV_{\lambda_1} + \cdots + dim_{\lambda_n}$dimVλ1​​+⋯+dimλn​​

（4）特征多项式可分解为$f(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)^{l_1}(\lambda - \lambda_2)^{l_2}\cdots(\lambda - \lambda_s)^{l_n}$f(λ)=(λ−λ1​)l1​(λ−λ2​)l2​⋯(λ−λs​)ln​