我们考虑的过程都是广义稳态随机过程，且均值为0。考虑的线性预测有两种，一种是向前线性预测(forward linear prediction)，用$u(n-1)$u(n−1)，$u(n-2)$u(n−2)，$\dots$…，$u(n-M)$u(n−M)来预测$u(n)$u(n)，$\mathscr{U}_{n-1}$Un−1​表示$u(n-1)$u(n−1)，$u(n-2)$u(n−2)，$\dots$…，$u(n-M)$u(n−M)张成的空间，$\hat{u}(n\mid \mathscr{U}_{n-1})$u^(n∣Un−1​)；另一种是向后线性预测(backward linear prediction)，用$u(n)$u(n)，$u(n-1)$u(n−1)，$\dots$…，$n(n-M+1)$n(n−M+1)预测$u(n-M)$u(n−M)。

向前线性预测

$\begin{aligned} \hat{u}(n\mid \mathscr{U}_{n-1})=\sum_{k=1}^{M}w_{f,k}^*u(n-k), \end{aligned}$u^(n∣Un−1​)=k=1∑M​wf,k∗​u(n−k),​
向前预测误差为$\begin{aligned} f_M(n)=&u(n)-\hat{u}(n\mid \mathscr{U}_{n-1})\\ =&u(n)-\sum_{k=1}^{M}w_{f,k}^*u(n-k)\\ =:&\sum_{k=0}^{M}a_{M,k}^*u(n-k). \end{aligned}$fM​(n)===:​u(n)−u^(n∣Un−1​)u(n)−k=1∑M​wf,k∗​u(n−k)k=0∑M​aM,k∗​u(n−k).​
和Wiener滤波一样在均方误差的意义上考虑最佳系数，$J=\mathbb{E}\left[|f_M(n)|^2\right]=r(0)-\boldsymbol{w}_{f}^{H}\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{H}\boldsymbol{w}_{f}+\boldsymbol{w}_f^{H}\boldsymbol{R}\boldsymbol{w}_f$J=E[∣fM​(n)∣2]=r(0)−wfH​r−rHwf​+wfH​Rwf​，【符号介绍可以看Adaptive Filter Learing Notes 自适应滤波学习笔记01 随机过程】。要求$J_{\min}$Jmin​就需要$\boldsymbol{R}\boldsymbol{w}_f=\boldsymbol{r}$Rwf​=r，此时令$P_M=J_{\min}$PM​=Jmin​。可以得到两个等式$\begin{aligned} & \boldsymbol{R}\boldsymbol{w}_f=\boldsymbol{r},\\ & P_M = r(0)-\boldsymbol{r}^{H}\boldsymbol{w}_f. \end{aligned}$​Rwf​=r,PM​=r(0)−rHwf​.​ 第一个式子相对与Wiener滤波就是Wiener-Hopf方程，两个式子结合起来可以得到向前预测的增广Wiener-Hopf方程(Augmented Wiener-Hopf Equations for Forward Prediction)$\left[\begin{matrix} r(0) & \boldsymbol{r}^H\\ \boldsymbol{r} & \boldsymbol{R} \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 1 \\ -\boldsymbol{w}_f \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} P_M \\ \boldsymbol{0} \end{matrix}\right]$[r(0)r​rHR​][1−wf​​]=[PM​0​] 也可以写成$\boldsymbol{R}_{M+1}\boldsymbol{a}_M=\left[\begin{matrix} P_M \\ \boldsymbol{0} \end{matrix}\right]$RM+1​aM​=[PM​0​]
而解这个方程可以利用Cramer法则避免求逆，而且等式右边只有一个非零值，所以在维数比较低的时候比较好求。

向后线性预测

$\hat{u}(n-M\mid \mathscr{U}_n)=\sum_{k=1}^{M}w_{b,k}^{*}u(n-k+1),$u^(n−M∣Un​)=k=1∑M​wb,k∗​u(n−k+1),
向后预测误差为$\begin{aligned} b_M(n)=&u(n-M)-\hat{u}(n-M\mid \mathscr{U}_{n})\\ =&u(n-M)-\sum_{k=1}^{M}w_{b,k}^*u(n-k+1) \end{aligned}$bM​(n)==​u(n−M)−u^(n−M∣Un​)u(n−M)−k=1∑M​wb,k∗​u(n−k+1)​
同样地，按Wiener滤波的方式考虑，得到$\boldsymbol{R}\boldsymbol{w}_b=\boldsymbol{r}^{B*}$Rwb​=rB∗，这里的$\cdot^B$⋅B表示这个向量的顺序调换了一下，原来最后一项变成第一项，倒数第二项变为第二项，以此类推。
观察一下这个式子$\begin{aligned} & \boldsymbol{R}^T\boldsymbol{w}_b^{B}=\boldsymbol{r}^{*}\\ & \boldsymbol{R}^{H}\boldsymbol{w}_b^{B*}=\boldsymbol{r} \end{aligned}$​RTwbB​=r∗RHwbB∗​=r​注意$\boldsymbol{R}^H=\boldsymbol{R}$RH=R，所以有$\boldsymbol{w}_b^{B*}=\boldsymbol{w}_f$wbB∗​=wf​。而此时向后预测误差的均方值为$P_M=r(0)-\boldsymbol{r}^{BT}\boldsymbol{w}_b=r(0)-\boldsymbol{r}^H\boldsymbol{w}_f$PM​=r(0)−rBTwb​=r(0)−rHwf​，注意$P_M$PM​和$r(0)$r(0)都是实值的。

向后预测的增广Wiener-Hopf方程是$\left[\begin{matrix} \boldsymbol{R} & \boldsymbol{r}^{B*}\\ \boldsymbol{r}^{BT} & r(0) \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} -\boldsymbol{w}_b\\ 1 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} \boldsymbol{0}\\ P_M \end{matrix}\right].$[RrBT​rB∗r(0)​]=[−wb​1​]=[0PM​​].