现代控制理论 一窥(6)
本篇讲述离散时间系统的数学模型。
- 连续时间状态空间系统的采样
例如以下系统：
其输入是离散信号：
能根据ZOH通过D-A转换器被转换成u(t)
下一秒：
化简：
如果采样周期为h
系统即为线性差分方程：
计算：
第一式只适用于低阶或特殊的高阶系统。
通过计算
得到化简后的
求解差分方程：
假设采样周期为1，总结规律：
抽样的转置：抽样是从连续SS系统到离散SS系统，这个过程不一定能被逆着来。
差分方程比微分方程更具一般性。如果Φ在左半边没有特征值，则连续时间系统是存在的。
如果Φ-I是非奇异：
定义M为对数矩阵：
给定A计算M：
（１. A为对角阵，元素为ａ，则
(2. A不是对角阵但是可以化为对角阵,那么就有
同理:
求得了M
(3. 如果A不能对角化,就用Caley-Hamilton 定理
性质:可以通过坐标变换得到不同的离散时间系统,这些性质与连续时间系统都很类似.
Z变换:研究线性差分方程(不限制初始条件).
离散时间信号:
Z变换之后:
逆变换:
其积分曲线包含所有F(z)的奇点.
用Z变换求一下差分方程:
假定x(0)=0, 输入输出方程为:
z变换的映射;
线性:
Time Shift:
Z平面拓展:
终值定理
卷积
离散传递函数的时移:
离散传递函数:
卷积积分性质:
考虑Y(z)=H(z)U(z)
如果u(i)为离散脉冲函数,
等值的离散传递函数:
已知G(s),求H(z)
如果u(k)为离散脉冲函数,
那怎么才能知道Y(z)?
ZOH将离散脉冲转化为宽度脉冲h和高度脉冲1.
分解:
总结:
! 确定对应于G(s)/s的时间函数
! 确定时间顺序的z变换
! 最后乘上(1-z^-1)得到hold-equivalent DT T.F.
z变换不是ZOH的等价物.
零极点:
A的特征值与Φ的特征值的关系: 如果z是Φ的特征值, 且z=e^sh, s就是A的特征值. 除此之外,z和s由相同的特征向量联系在一起.
eg.