部分先进控制技术的原理及推导（3）——模型预测控制

模型预测控制（MPC: Model Prediction Control）是一种基于模型的闭环优化控制策略。从我的理解来说，他是其实就是一种数学算法，用来对模型的输出进行控制。
模型预测控制的基本算法有模型算法控制（MAC:Model Algorithm Control），动态矩阵控制（DMC:Dynamic Matrix Control），广义预测控制(GPC: Generalized Predictive Control）等，他们的基本预测模型的选择有所不同，模型算法采用脉冲模型，动态矩阵采用阶跃模型，广义预测控制的被控对象采用自回归滑动平均模型。但这些算法的思路大致相同，这里以最常用的MAC进行推导，其原理图如下：

1.预测模型

采用被控对象的单位脉冲响应序列作为预测模型。设：响应序列为{hj}，且j=1,2,3…N ，渐近稳定。于是存在充分大的N使得当 j≥N 时hj≈0. 根据线性系统的叠加原理：

y为模型输出，u为输入，将式子改写成增量式，且推k+1步的输出得到公式1：

2.反馈校正

为消除静差在预测模型上引入误差项 e 做反馈修正，成为闭环预测模型。

其中，g0是设计参数，由设计者自己选取，一般情况下，g0取1，于是我们得到反馈校正的公式2：

其中y(k)为当前输出，yp(k)为预测量。

3.参考轨迹

在MAC中，系统的期望输出是以当前输出和设定值平滑过渡的一条曲线为参考轨迹，即采用如下定义的规划曲线即公式3（当然我们也可以根据实际情况选用别的曲线）：

其中yr(k)为参考轨迹输出，ysp为设定值，y(k)为当前输出值。
其中
可见T为采样周期， τ为参考轨迹的时间常数。α是一个设计参数，其大小决定了系统跟随设定值的快慢和鲁棒性。可以看出随着时间的增长，α逐渐趋于0，参考轨迹会向ysp偏移，所以α对闭环系统的动态性能和鲁棒性有直接影响。

4.滚动优化

在MAC中，k 时刻的优化目标是求解未来时刻的控制量u(k)，使得在未来的时刻输出yp能尽可能的达到参考轨迹yr，所以通常选取如下的目标函数
其中qi为非负加权系数，用来调整未来各时刻预测误差的影响程度。

由目标函数J可以看出，只有在yp(k+1)=yr(k+1)时，目标函数最小，优化效果最好，由公式2 公式3可知

则
进而推出

最后，我们把u(k)放在等式左边，得到最终的表达式：

即可通过此控制量递推整个预测控制过程。

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几点补充

1.上述过程可只写了k+1的情况，但是可以推广到 p>1的情况的 ;
2.MAC算法不适于有时滞或非最小相位系统；
3.实用中还有很多改进的MAC。一般采用多步优化的控制策略，以及不同的优化时域和控制时域；如采用如下目标函数：