经典控制理论2-传递函数的前世今生

注：本文参考《自动控制原理（第二版）》程鹏主编，为学习总结笔记。

数学模型-传递函数

首先让我们来看看数学模型的概念吧，学控制理论真的就像一个数学建模分析的过程
数学模型：描述系统的输入、输出变量以及系统内部各个变量之间关系的数学表达式

卷积与脉冲响应与传递函数

分析一个系统，科学家们常常用实验法，也就是给系统一个输入信号，然后根据系统的输出响应，经过处理辨识出系统的数学模型。比如：输出=输出x系统，那么知道输入和输出就知道系统是啥了

对于函数非常复杂的情况，科学家们就提出把一个函数拆开，拆成一小部分一小部分来处理，比如用正弦信号来来表示函数，也就是傅里叶分析，用的是不同的正弦函数的线性组合；但是正弦信号计算也很复杂，那么就有科学家提出把函数拆成线段或者点，就有了卷积的出现。

$\ f(x) = \sum_ 0^\infty 所有的点\,.$ f(x)=0∑∞​所有的点.
那么如何表示每一个时间上的点，科学家们就想出了，脉冲响应函数

那么简单来说函数等于每个值为1的点（脉冲响应函数）x每个时刻对应的函数值的线性叠加

在系统中每输入一个脉冲就会有一个响应

把输入r（t）拆成脉冲给系统，把每一个脉冲响应叠加得到输出c(t)那么就有（这里可以才看把输入拆开之后，系统的数学函数与输入无关，也就是为啥传递函数只取决于系统的结构和参数）

将卷积c(????)=r(t)∗G(t)经过拉普拉斯变化得到

把卷积变成了“乘”，则系统的数学模型为

这就是系统的传递函数，也就是在零初始条件下，系统的输出变量拉普拉斯变化与输入变量拉普拉斯变换之比

传递函数的几点说明

• 是线性定常系统的输入、输出描述，是一种线性定常系统的动态数学模型
• 传递函数只取决于系统的结构和参数，与外界输入无关
• 传递函数具有一定的零极点分布对应，这个和系统的稳定性密切相关
• 传递函数的拉普拉斯反变换是系统的脉冲响应函数
• 具有一定的局限性
  （1）只研究单入单出系统
  （2）只能表示输入、输出关系，不能反映输入变量与中间变量的关系（这个要靠状态空间方程）
  （3）只能研究零初始条件的系统运动特性（因为拉普拉斯变化表示的是从0开始的）

典型反馈的传递函数
输入信号r(t)作用：

干扰信号n（t）作用：

误差传递函数：

• 输入信号r(t)作用下
  
• 干扰信号n（t）作用下