线性指数上三角矩阵
如果我有一个矩阵的上三角部分,在对角线上方的偏移量,存储为线性阵列,矩阵元素的指数如何从数组的线性索引中提取?线性指数上三角矩阵
例如,线性阵列[a0, a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9
为矩阵
0 a0 a1 a2 a3 0 0 a4 a5 a6 0 0 0 a7 a8 0 0 0 0 a9 0 0 0 0 0
存储和我们想知道第(i,j)的阵列中的对应于在所述线性矩阵偏移索引,且无需递归。
合适的结果,将k2ij(int k, int n) -> (int, int)
满足例如
k2ij(k=0, n=5) = (0, 1) k2ij(k=1, n=5) = (0, 2) k2ij(k=2, n=5) = (0, 3) k2ij(k=3, n=5) = (0, 4) k2ij(k=4, n=5) = (1, 2) k2ij(k=5, n=5) = (1, 3) [etc]
从线性索引去(i,j)
指数方程是
i = n - 2 - floor(sqrt(-8*k + 4*n*(n-1)-7)/2.0 - 0.5)
j = k + i + 1 - n*(n-1)/2 + (n-i)*((n-i)-1)/2
的逆运算,从(i,j)
索引到线性指数是
k = (n*(n-1)/2) - (n-i)*((n-i)-1)/2 + j - i - 1
验证在Python与:
from numpy import triu_indices, sqrt
n = 10
for k in range(n*(n-1)/2):
i = n - 2 - int(sqrt(-8*k + 4*n*(n-1)-7)/2.0 - 0.5)
j = k + i + 1 - n*(n-1)/2 + (n-i)*((n-i)-1)/2
assert np.triu_indices(n, k=1)[0][k] == i
assert np.triu_indices(n, k=1)[1][k] == j
for i in range(n):
for j in range(i+1, n):
k = (n*(n-1)/2) - (n-i)*((n-i)-1)/2 + j - i - 1
assert triu_indices(n, k=1)[0][k] == i
assert triu_indices(n, k=1)[1][k] == j
首先,让我们在重新编号相反的顺序一个[K]。我们将得到:
0 a9 a8 a7 a6
0 0 a5 a4 a3
0 0 0 a2 a1
0 0 0 0 a0
0 0 0 0 0
然后k2ij(k,n)将变成k2ij(n-k,n)。
现在的问题是,如何计算这个新矩阵中的k2ij(k,n)。序列0,2,5,9(对角线元素的索引)对应于triangular numbers(减去1之后):a [n-i,n + 1-i] = Ti-1 Ti = i *(i + 1)/2,所以如果我们知道Ti,很容易解出这个方程并得到i(参见链接的wiki文章“三角形根的三角形根和测试”一节中的公式)。如果k + 1不完全是一个三角形数字,该公式仍然会给你有用的结果:在将其舍入后,将得到i的最高值,对此,我的这个值对应于行索引(从底部开始计算),其中a [k]位于其中。为了得到列(从右边算起),你应该简单地计算Ti的值并减去它的值:j = k + 1 - Ti。要清楚的是,这些并不是你的问题中的我和j,你需要“翻转”它们。
我没有写出确切的公式,但我希望你有这个想法,现在在执行一些无聊但简单的计算后找到它就变得微不足道了。
在python中:
def k2ij(k, n):
rows = 0
for t, cols in enumerate(xrange(n - 1, -1, -1)):
rows += cols
if k in xrange(rows):
return (t, n - (rows - k))
return None
以下是matlab中的一个实现,它可以很容易地转移到另一种语言,比如C++。在这里,我们假设矩阵的大小为m * m,ind是线性数组中的索引。唯一不同的是,在这里,我们计算矩阵列的下三角部分,这与您的案例类似(逐行计算上三角部分)。
function z= ind2lTra (ind, m)
rvLinear = (m*(m-1))/2-ind;
k = floor((sqrt(1+8*rvLinear)-1)/2);
j= rvLinear - k*(k+1)/2;
z=[m-j, m-(k+1)];
为最后一列的元素写一个公式。为了使它更容易编写一个从行号计算线性索引的公式(列号是固定的),然后将其反转。从那里继续一个通用公式。 – 2014-11-23 06:57:44
请注意,此处介绍的解决方法也可以用于列出N次事件的组合(无需重复),而不需要任何迭代/递归。 – 2015-03-30 15:03:40