用于生成记录序列的数学公式

问题描述：

我有两个查找表，如果可能的话，我想用简单的数学来消除这两个查找表。用于生成记录序列的数学公式

第一个是从数组中的索引到序列{0} => 1，{1,2} => 2，{3,4,5} => 3，s.t.的映射。有一个1中，两个2S，三个3S，等等或视觉：

lookup1[N] = { 
    1, 
    2, 2, 
    3, 3, 3, 
    4, 4, 4, 4, 
    5, 5, 5, 5, 5, 
    6, 6, 6, 6, 6, 6, 
    7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 
    8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 
    ... 
}

第二个是用于增加序列，所述第一序列是（1），第二（1,2），所述第三（1 ，2，3）。这就像一个模数周期，但是在每个周期后都会增加。目测：

lookup2[N] = { 
    1, 
    1, 2, 
    1, 2, 3, 
    1, 2, 3, 4, 
    1, 2, 3, 4, 5, 
    1, 2, 3, 4, 5, 6, 
    1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 
    1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 
    1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 
    ... 
}

这些需要从索引映射。对于第二次查找，输入5,4,3分别映射到3,2,1。

是否有任何数学公式会产生这些模式？我宁愿执行一些指令，而不是执行内存访问。

答

对于lookup1，这看起来与Triangular numbers密切相关，事实上它是相反的问题。三角形数字是具有n行的三角形中的项目数量。所以你有T1 = 1，T2 = 1 + 2 = 3，T3 = 1 + 2 + 3 = 6，T4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10。或者作为函数f（1）= 1，f 2）= 3，f（3）= 6，f（4）= 10。（1）= 1，g（3）= 2，g（6）= 3，g（10）= 4。我们后面担心其他值。

没有为三角形数F（N）= N（N + 1）/ 2，和更复杂的一个用于逆

g(n) = (sqrt(8 * n + 1) - 1)/2

小实验示出了公式

ceil((sqrt(8*n+1) - 1)/2)

给出你想要的数字。

对于第二部分，你可以使用函数的逆三角形的数字，然后找到以前的三角形数量，并采取差异

X = ceil((sqrt(8*n+1) - 1)/2); 
T = (X * (X-1))/2 ; 
print(n-T);

略有谨慎注意。在转换点sqrt(8*n+1)应计算为一个奇数整数值。非常大的n可能会发生什么，而舍入错误可能会支付一部分。我已经测试了超过一百万，并没有看到问题发生。

用于生成记录序列的数学公式

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