C++中非常快速的对数（自然对数）函数？

Question

我们发现代替std::sqrt（Timing Square Root）和std::exp（Using Faster Exponential Approximation）的一些技巧，但我找不到替代std::log的东西。它是我程序中循环的一部分，它被多次调用，而exp和sqrt被优化，因此英特尔VTune现在建议我优化std::log，之后似乎只有我的设计选择会受到限制。

很多谢谢。

Answer 1

这取决于你需要的准确度。通常会通过调用log来了解数字的大小，通过检查浮点数的指数字段，您可以基本上免费进行此操作。这也是你的第一个近似值。我将为我的“基本算法”一书提供一个插件，它解释了如何从第一原理实现标准库数学函数。

Answer 2

看看this的讨论，接受的答案是指基于Zeckendorf分解的计算对数函数implementation。

在实现文件的注释中，讨论了复杂性和一些技巧以达到O（1）。

希望这会有所帮助！

Answer 3

在开始设计和部署性能超越函数的自定义实现之前，强烈建议在算法级别以及通过工具链进行优化。不幸的是，我们没有任何有关此处优化的代码的信息，我们也没有关于工具链的信息。

在算法级别，检查是否所有对超越函数的调用都是真正必需的。也许有一个数学转换需要较少的函数调用，或将超越函数转换为代数运算。任何超越函数调用都可能是多余的，例如因为计算是不必要地切入和切出对数空间？如果精度要求适中，整个计算是否可以单精度执行，全部使用float而不是double？在大多数硬件平台上，避免使用double计算可以显着提高性能。

编译器倾向于提供影响数字密集代码性能的各种开关。除了将通用优化级别提高到-O3之外，通常还有一种方法可以禁用非正常支持，即打开清零或FTZ模式。这在各种硬件平台上具有性能优势。此外，通常会有一个“快速数学”标志，其使用会导致准确度略有下降，并消除了处理特殊情况（如NaN和无穷大）的开销，以及处理errno。一些编译器还支持自动向量化代码，并附带一个SIMD数学库，例如英特尔编译器。

一个对数函数通常涉及分离二进制浮点参数x成指数e和尾数m的自定义实现，使得x = m * 2e，因此log(x) = log(2) * e + log(m)。选择m以使其接近于1，因为这提供了有效的近似值，例如log(m) = log(1+f) = log1p(f),minimax polynomial approximation。

C++提供了frexp()函数将浮点操作数分离为尾数和指数，但实际上通常使用更快的机器特定方法，通过将它们重新解释为相同位数来在位级操作浮点数据，大小整数。下面的单精度对数代码logf()演示了两种变体。功能__int_as_float()和__float_as_int()规定将int32_t重新解释为IEEE-754 binary32浮点数，反之亦然。该代码严重依赖于大多数当前处理器，CPU或GPU上的硬件中直接支持的融合乘加操作FMA。在fmaf()映射到软件仿真的平台上，此代码的速度会慢得令人无法接受。

#include <cmath> 
#include <cstdint> 

/* compute natural logarithm, maximum error 0.85756 ulps */ 
float my_logf (float a) 
{ 
    float m, r, s, t, i, f; 
    int32_t e; 

    if ((a > 0.0f) && (a <= 3.40282347e+38f)) { // 0x1.fffffep+127 
#if PORTABLE 
     m = frexpf (a, &e); 
     if (m < 0.666666667f) { 
      m = m + m; 
      e = e - 1; 
     } 
     i = (float)e; 
#else // PORTABLE 
     i = 0.0f; 
     /* fix up denormal inputs */ 
     if (a < 1.175494351e-38f){ // 0x1.0p-126 
      a = a * 8388608.0f; // 0x1.0p+23 
      i = -23.0f; 
     } 
     e = (__float_as_int (a) - 0x3f2aaaab) & 0xff800000; 
     m = __int_as_float (__float_as_int (a) - e); 
     i = fmaf ((float)e, 1.19209290e-7f, i); // 0x1.0p-23 
#endif // PORTABLE 
     /* m in [2/3, 4/3] */ 
     f = m - 1.0f; 
     s = f * f; 
     /* Compute log1p(f) for f in [-1/3, 1/3] */ 
     r = fmaf (-0.130187988f, f, 0.140889585f); // -0x1.0aa000p-3, 0x1.208ab8p-3 
     t = fmaf (-0.121489584f, f, 0.139809534f); // -0x1.f19f10p-4, 0x1.1e5476p-3 
     r = fmaf (r, s, t); 
     r = fmaf (r, f, -0.166845024f); // -0x1.55b2d8p-3 
     r = fmaf (r, f, 0.200121149f); // 0x1.99d91ep-3 
     r = fmaf (r, f, -0.249996364f); // -0x1.fffe18p-3 
     r = fmaf (r, f, 0.333331943f); // 0x1.5554f8p-2 
     r = fmaf (r, f, -0.500000000f); // -0x1.000000p-1 
     r = fmaf (r, s, f); 
     r = fmaf (i, 0.693147182f, r); // 0x1.62e430p-1 // log(2) 
    } else { 
     r = a + a; // silence NaNs if necessary 
     if (a < 0.0f) r = 0.0f/0.0f; // NaN 
     if (a == 0.0f) r = -1.0f/0.0f; // -Inf 
    } 
    return r; 
} 

如代码注释指出，实施上述规定如实全面的单精度结果，并将其与与IEEE-754浮点标准一致的特殊情况下的交易。通过消除特殊情况支持，可以进一步提高性能，消除对非正常参数的支持，并降低准确性。这导致以下示例变体：8分钟招摇题外话问题后

/* natural log on [0x1.f7a5ecp-127, 0x1.fffffep127]. Maximum relative error 9.4529e-5 */ 
float my_faster_logf (float a) 
{ 
    float m, r, s, t, i, f; 
    int32_t e; 

    e = (__float_as_int (a) - 0x3f2aaaab) & 0xff800000; 
    m = __int_as_float (__float_as_int (a) - e); 
    i = (float)e * 1.19209290e-7f; // 0x1.0p-23 
    /* m in [2/3, 4/3] */ 
    f = m - 1.0f; 
    s = f * f; 
    /* Compute log1p(f) for f in [-1/3, 1/3] */ 
    r = fmaf (0.230836749f, f, -0.279208571f); // 0x1.d8c0f0p-3, -0x1.1de8dap-2 
    t = fmaf (0.331826031f, f, -0.498910338f); // 0x1.53ca34p-2, -0x1.fee25ap-2 
    r = fmaf (r, s, t); 
    r = fmaf (r, s, f); 
    r = fmaf (i, 0.693147182f, r); // 0x1.62e430p-1 // log(2) 
    return r; 
}