Haskell中的记忆？

Question

关于如何高效地解决下面的函数在Haskell，对于大量(n > 108)

f(n) = max(n, f(n/2) + f(n/3) + f(n/4)) 

我已经看到在Haskell记忆化的实施例来解决斐波纳契 号码，这涉及到计算（懒惰）所有的斐波纳契任何指针号码 直至所需的n。但在这种情况下，对于给定的n，我们只需要 就可以计算出很少的中间结果。

感谢

Answer 1

我们可以非常有效地做到这一点，使我们可以在亚线性时间索引的结构。

但首先，

{-# LANGUAGE BangPatterns #-} 

import Data.Function (fix) 

让我们来定义f，但要使用“开放递归”，而不是直接调用本身。

f :: (Int -> Int) -> Int -> Int 
f mf 0 = 0 
f mf n = max n $ mf (n `div` 2) + 
       mf (n `div` 3) + 
       mf (n `div` 4) 

您可以通过使用fix f

得到unmemoized f这将让你测试f做你的意思为f小的值通过调用，例如：fix f 123 = 144

我们可以memoize的这通过定义：

f_list :: [Int] 
f_list = map (f faster_f) [0..] 

faster_f :: Int -> Int 
faster_f n = f_list !! n 

这表现得很好，而且repl王牌什么是要采取O（n^3）时间记忆中间结果的东西。

但是，它仍然需要线性时间来索引以找到mf的记忆答案。这意味着结果是这样的：

*Main Data.List> faster_f 123801 
248604 

是可以容忍的，但结果并没有比这个好得多。我们可以做得更好！

首先，让我们定义一个无限树：

data Tree a = Tree (Tree a) a (Tree a) 
instance Functor Tree where 
    fmap f (Tree l m r) = Tree (fmap f l) (f m) (fmap f r) 

然后，我们将定义一个方法来索引，所以我们可以在O（log n）的时间找到索引n节点而不是：

index :: Tree a -> Int -> a 
index (Tree _ m _) 0 = m 
index (Tree l _ r) n = case (n - 1) `divMod` 2 of 
    (q,0) -> index l q 
    (q,1) -> index r q 

...我们会发现一个完整的自然数的树要方便，所以我们不必摆弄那些索引：

nats :: Tree Int 
nats = go 0 1 
    where 
     go !n !s = Tree (go l s') n (go r s') 
      where 
       l = n + s 
       r = l + s 
       s' = s * 2 

既然我们能指数，你可以转换一棵树到一个列表：

toList :: Tree a -> [a] 
toList as = map (index as) [0..] 

您可以通过验证toList nats给你[0..]

现在检查工作至今，

f_tree :: Tree Int 
f_tree = fmap (f fastest_f) nats 

fastest_f :: Int -> Int 
fastest_f = index f_tree 

的工作方式与上面的列表类似，但不是花费线性时间来查找每个节点，而是可以在对数时间内追踪它。

结果是相当快：

*Main> fastest_f 12380192300 
67652175206 

*Main> fastest_f 12793129379123 
120695231674999 

事实上，它是如此之快，你可以去通过，并与Integer上述替代Int并获得大的离谱的答案几乎是瞬间

*Main> fastest_f' 1230891823091823018203123 
93721573993600178112200489 

*Main> fastest_f' 12308918230918230182031231231293810923 
11097012733777002208302545289166620866358 

Answer 2

不是最有效的方式，但确实memoize的：

f = 0 : [ g n | n <- [1..] ] 
    where g n = max n $ f!!(n `div` 2) + f!!(n `div` 3) + f!!(n `div` 4) 

请求 f !! 144时

，检查出f !! 143存在，但不计算其精确值。它仍然是一些未知的计算结果。计算出的唯一精确值是需要的值。

所以最初，只要计算了多少，程序一无所知。

f = .... 

当我们请求f !! 12，它开始做一些模式匹配：

f = 0 : g 1 : g 2 : g 3 : g 4 : g 5 : g 6 : g 7 : g 8 : g 9 : g 10 : g 11 : g 12 : ... 

现在开始计算

f !! 12 = g 12 = max 12 $ f!!6 + f!!4 + f!!3 

这递归使得F上的另一个需求，所以我们计算

f !! 6 = g 6 = max 6 $ f !! 3 + f !! 2 + f !! 1 
f !! 3 = g 3 = max 3 $ f !! 1 + f !! 1 + f !! 0 
f !! 1 = g 1 = max 1 $ f !! 0 + f !! 0 + f !! 0 
f !! 0 = 0 

现在我们可以滴入备份一些

f !! 1 = g 1 = max 1 $ 0 + 0 + 0 = 1 

这意味着该计划现在知道：

f = 0 : 1 : g 2 : g 3 : g 4 : g 5 : g 6 : g 7 : g 8 : g 9 : g 10 : g 11 : g 12 : ... 

继续淌了起来：

f !! 3 = g 3 = max 3 $ 1 + 1 + 0 = 3 

这意味着现在的程序知道：

f = 0 : 1 : g 2 : 3 : g 4 : g 5 : g 6 : g 7 : g 8 : g 9 : g 10 : g 11 : g 12 : ... 

现在我们将继续我们的f!!6计算：

f !! 6 = g 6 = max 6 $ 3 + f !! 2 + 1 
f !! 2 = g 2 = max 2 $ f !! 1 + f !! 0 + f !! 0 = max 2 $ 1 + 0 + 0 = 2 
f !! 6 = g 6 = max 6 $ 3 + 2 + 1 = 6 

这意味着该计划现在知道：

f = 0 : 1 : 2 : 3 : g 4 : g 5 : 6 : g 7 : g 8 : g 9 : g 10 : g 11 : g 12 : ... 

现在我们将继续我们的f!!12计算：

f !! 12 = g 12 = max 12 $ 6 + f!!4 + 3 
f !! 4 = g 4 = max 4 $ f !! 2 + f !! 1 + f !! 1 = max 4 $ 2 + 1 + 1 = 4 
f !! 12 = g 12 = max 12 $ 6 + 4 + 3 = 13 

这意味着该程序现在知道：

f = 0 : 1 : 2 : 3 : 4 : g 5 : 6 : g 7 : g 8 : g 9 : g 10 : g 11 : 13 : ... 

所以计算是相当懒散地完成的。该程序知道存在f !! 8的某个值，它等于g 8，但它不知道g 8是什么。

Answer 3

这是Edward Kmett的出色答案的附录。

当我尝试他的代码时，nats和index的定义看起来很神秘，所以我编写了一个我觉得更容易理解的替代版本。

根据index'和nats'定义index和nats。

index' t n定义在范围[1..]。 （回想一下，index t定义在范围[0..]上。）它的工作原理是将n视为一串比特，然后反向读取比特。如果该位是1，则需要右手分支。如果该位是0，它将采用左侧分支。它在到达最后一位时停止（它必须是1）。

index' (Tree l m r) 1 = m 
index' (Tree l m r) n = case n `divMod` 2 of 
          (n', 0) -> index' l n' 
          (n', 1) -> index' r n' 

正如nats为index定义，以便index nats n == n始终是真实的，nats'为index'定义。

nats' = Tree l 1 r 
    where 
    l = fmap (\n -> n*2)  nats' 
    r = fmap (\n -> n*2 + 1) nats' 
    nats' = Tree l 1 r 

现在，nats和index只是nats'和index'但与1移值：

index t n = index' t (n+1) 
nats = fmap (\n -> n-1) nats' 

Answer 4

Edward's answer是这样一个美妙的宝石，我已经复制并提供memoList实现和memoTree以开放递归形式记忆函数的组合器。

{-# LANGUAGE BangPatterns #-} 

import Data.Function (fix) 

f :: (Integer -> Integer) -> Integer -> Integer 
f mf 0 = 0 
f mf n = max n $ mf (div n 2) + 
       mf (div n 3) + 
       mf (div n 4) 


-- Memoizing using a list 

-- The memoizing functionality depends on this being in eta reduced form! 
memoList :: ((Integer -> Integer) -> Integer -> Integer) -> Integer -> Integer 
memoList f = memoList_f 
    where memoList_f = (memo !!) . fromInteger 
     memo = map (f memoList_f) [0..] 

faster_f :: Integer -> Integer 
faster_f = memoList f 


-- Memoizing using a tree 

data Tree a = Tree (Tree a) a (Tree a) 
instance Functor Tree where 
    fmap f (Tree l m r) = Tree (fmap f l) (f m) (fmap f r) 

index :: Tree a -> Integer -> a 
index (Tree _ m _) 0 = m 
index (Tree l _ r) n = case (n - 1) `divMod` 2 of 
    (q,0) -> index l q 
    (q,1) -> index r q 

nats :: Tree Integer 
nats = go 0 1 
    where 
     go !n !s = Tree (go l s') n (go r s') 
      where 
       l = n + s 
       r = l + s 
       s' = s * 2 

toList :: Tree a -> [a] 
toList as = map (index as) [0..] 

-- The memoizing functionality depends on this being in eta reduced form! 
memoTree :: ((Integer -> Integer) -> Integer -> Integer) -> Integer -> Integer 
memoTree f = memoTree_f 
    where memoTree_f = index memo 
     memo = fmap (f memoTree_f) nats 

fastest_f :: Integer -> Integer 
fastest_f = memoTree f 

Answer 5

另一个增编爱德华Kmett的回答是：一个自包含的例子：

fib = memoNat f 
    where f 0 = 0 
     f 1 = 1 
     f n = fib (n-1) + fib (n-2) 

：

data NatTrie v = NatTrie (NatTrie v) v (NatTrie v) 

memo1 arg_to_index index_to_arg f = (\n -> index nats (arg_to_index n)) 
    where nats = go 0 1 
     go i s = NatTrie (go (i+s) s') (f (index_to_arg i)) (go (i+s') s') 
      where s' = 2*s 
     index (NatTrie l v r) i 
      | i < 0 = f (index_to_arg i) 
      | i == 0 = v 
      | otherwise = case (i-1) `divMod` 2 of 
      (i',0) -> index l i' 
      (i',1) -> index r i' 

memoNat = memo1 id id 

如下，以memoize的用一个整数ARG的功能（如斐波那契）使用它

只有非负参数的值才会被缓存。

要也为负参数缓存值，使用memoInt，定义如下：

memoInt = memo1 arg_to_index index_to_arg 
    where arg_to_index n 
     | n < 0  = -2*n 
     | otherwise = 2*n + 1 
     index_to_arg i = case i `divMod` 2 of 
      (n,0) -> -n 
      (n,1) -> n 

要高速缓存的值对于具有两个整数参数使用memoIntInt，函数定义如下：

memoIntInt f = memoInt (\n -> memoInt (f n)) 

Answer 6

作为在Edward Kmett的回答中指出，为了加快速度，您需要缓存昂贵的计算并能够快速访问它们。

为了保持函数非单调性，使用合适的方式来索引它（如前面的帖子所示），构建一棵无限延迟树的解决方案实现了该目标。如果放弃函数的非单调性质，可以将Haskell中的标准关联容器与“状态”单元（如State或ST）结合使用。

虽然主要缺点是您获得了非一元函数，您不必再自己索引结构，并且可以使用关联容器的标准实现。

要做到这一点，首先需要重新写你函数接受任何类型的单子：

fm :: (Integral a, Monad m) => (a -> m a) -> a -> m a 
fm _ 0 = return 0 
fm recf n = do 
    recs <- mapM recf $ div n <$> [2, 3, 4] 
    return $ max n (sum recs) 

对于你的测试，你还可以定义不使用Data.Function没有记忆化的功能。修复，虽然这是一个有点冗长：

noMemoF :: (Integral n) => n -> n 
noMemoF = runIdentity . fix fm 

然后，您可以使用状态单子结合Data.Map加快速度：

import qualified Data.Map.Strict as MS 

withMemoStMap :: (Integral n) => n -> n 
withMemoStMap n = evalState (fm recF n) MS.empty 
    where 
     recF i = do 
     v <- MS.lookup i <$> get 
     case v of 
      Just v' -> return v' 
      Nothing -> do 
       v' <- fm recF i 
       modify $ MS.insert i v' 
       return v' 

有了细微的变化，你可以用Data.HashMap代码适应工作，而不是：

import qualified Data.HashMap.Strict as HMS 

withMemoStHMap :: (Integral n, Hashable n) => n -> n 
withMemoStHMap n = evalState (fm recF n) HMS.empty 
    where 
     recF i = do 
     v <- HMS.lookup i <$> get 
     case v of 
      Just v' -> return v' 
      Nothing -> do 
       v' <- fm recF i 
       modify $ HMS.insert i v' 
       return v' 

而是持久数据结构，你也可以尝试可变数据结构（如Data.HashTable）结合在ST单子：

import qualified Data.HashTable.ST.Linear as MHM 

withMemoMutMap :: (Integral n, Hashable n) => n -> n 
withMemoMutMap n = runST $ 
    do ht <- MHM.new 
     recF ht n 
    where 
     recF ht i = do 
     k <- MHM.lookup ht i 
     case k of 
      Just k' -> return k' 
      Nothing -> do 
       k' <- fm (recF ht) i 
       MHM.insert ht i k' 
       return k' 

相比没有任何记忆化的实现，这些实现可以让你，巨额的投入，来获得，而不必等待几秒钟在微秒的成绩。

以Criterion为基准，我可以观察到Data.HashMap的实现实际上比Data.Map和Data.HashTable的执行稍微好一点（大约20％），其定时非常相似。

我发现基准的结果有点令人惊讶。我最初的感觉是HashTable会超越HashMap的实现，因为它是可变的。这个最后的实现中可能会隐藏一些性能缺陷。

Answer 7

几年后，我看着这个和实现有和一个简单的方法以线性时间来memoize的这种使用zipWith一个辅助功能：

dilate :: Int -> [x] -> [x] 
dilate n xs = replicate n =<< xs 

dilate有方便的属性，dilate n xs !! i == xs !! div i n。

所以，假如我们给出F（0），这简化了计算，以

fs = f0 : zipWith max [1..] (tail $ fs#/2 .+. fs#/3 .+. fs#/4) 
    where (.+.) = zipWith (+) 
     infixl 6 .+. 
     (#/) = flip dilate 
     infixl 7 #/ 

找了很多像我们原来的问题描述，并给出一个线性解决方案（sum $ take n fs将采取为O（n） ）。

Answer 8

一个没有索引的解决方案，不是基于Edward KMETT的。

我分解出到公共父共同子树（f(n/4)是f(n/2)和f(n/4)之间共享，并且f(n/6)被f(2)和f(3)之间共享）。通过将它们保存为父变量中的单个变量，子树的计算只需执行一次。

data Tree a = 
    Node {datum :: a, child2 :: Tree a, child3 :: Tree a} 

f :: Int -> Int 
f n = datum root 
    where root = f' n Nothing Nothing 


-- Pass in the arg 
    -- and this node's lifted children (if any). 
f' :: Integral a => a -> Maybe (Tree a) -> Maybe (Tree a)-> a 
f' 0 _ _ = leaf 
    where leaf = Node 0 leaf leaf 
f' n m2 m3 = Node d c2 c3 
    where 
    d = if n < 12 then n 
      else max n (d2 + d3 + d4) 
    [n2,n3,n4,n6] = map (n `div`) [2,3,4,6] 
    [d2,d3,d4,d6] = map datum [c2,c3,c4,c6] 
    c2 = case m2 of -- Check for a passed-in subtree before recursing. 
     Just c2' -> c2' 
     Nothing -> f' n2 Nothing (Just c6) 
    c3 = case m3 of 
     Just c3' -> c3' 
     Nothing -> f' n3 (Just c6) Nothing 
    c4 = child2 c2 
    c6 = f' n6 Nothing Nothing 

    main = 
     print (f 123801) 
     -- Should print 248604. 

代码不容易扩展到一般的记忆化功能（至少，我不知道该怎么做），你真的必须想出如何子问题重叠，但战略应该适用于一般的多个非整数参数。 （我认为它适用于两个字符串参数）。

备注在每次计算后都会被丢弃。 （同样，我在考虑两个字符串参数。）

我不知道这是否比其他答案更有效。每个查询在技术上只有一到两个步骤（“看看你的孩子或你的孩子的孩子”），但可能会有很多额外的内存使用。

编辑：此解决方案尚未正确。分享不完整。

编辑：它应该现在正确地共享子女，但我意识到这个问题有很多不平凡的共享：n/2/2/2和n/3/3可能是相同的。这个问题不适合我的策略。