零基础入门量子计算:从一个神奇的概念进入量子世界
导读:量子比特是量子计算的基本单位,量子比特可以用电子的自旋或光子的偏振来表示。本文将从量子特有的自旋概念开始,带你进入神奇的量子世界。限于篇幅,本文将略过光子的偏振相关内容,如果你对这部分内容感兴趣,可阅读《人人可懂的量子计算》一书第1.6节。
作者:克里斯·伯恩哈特(Chris Bernhardt)
来源:大数据DT(ID:hzdashuju)
所有的计算都包括三个过程,首先输入数据,然后根据一定的规则对输入进行操作,最后输出结果。对于经典计算来说,比特是数据的基本单位。对于量子计算来说,这个基本单位是量子比特(quantum bit)——通常缩写为qubit。
一个经典比特对应于两个选项中的一个。任何处于两种状态之一的事物都可以表示成一个比特。稍后我们将看到各种各样的例子,其中包括逻辑语句的真假,开关打开或关闭,甚至台球的存在或不存在。
就像一个比特一样,一个量子比特包括这两种状态,但与比特不同的是,它也可以是这两种状态的组合。这是什么意思?两种状态的组合到底是什么?能代表量子比特的物理对象是什么?开关在量子计算中的类似物是什么?
量子比特可以用电子的自旋或光子的偏振来表示。尽管这是真的,但似乎没有特别的帮助,因为我们大多数人都不了解电子的自旋和光子的偏振,更不用说体验过。
让我们从自旋和偏振的基本介绍开始。为此,我们引入奥托·斯特恩(Otto Stern)和瓦尔特·格拉赫(Walther Gerlach)在银原子自旋上所做的基础实验。
1922年,尼尔斯·玻尔(Niels Bohr)的行星模型描述了当时人们对原子的理解。在这个模型中,原子是由一个原子核和环绕它的电子组成的,其中原子核带正电荷,电子带负电荷。
电子轨道是圆形的,且被限制在一定的半径内。最内层轨道最多可以包含2个电子。一旦这层轨道被填满,电子就会开始填下一层轨道,第二层轨道最多可以容纳8个电子。
银原子有47个电子,其中2个在最内层轨道上,下一层轨道上有8个,然后在第三层和第四层都有18个电子。这使得在最外层轨道上留下了1个孤电子。
现在,在圆形轨道上运动的电子产生磁场。内层轨道上的电子是成对的,其中一个电子朝着与另一个电子相反的方向旋转,从而使它们的磁场相互抵消。然而,最外层轨道上的单个电子产生的磁场不会被其他电子抵消。这意味着,原子作为一个整体,可以看作一个既有南极又有北极的小磁体。
Stern和Gerlach设计了一个实验来测试这些磁体的南北轴取向是任意的还是特定的。他们发射一束银原子穿过一对磁体,如图1.1所示。
▲图1.1 Stern-Gerlach装置
磁体的V形设计使得南磁体的作用比北磁体更强。如果银原子是一个顶部为北、底部为南的磁体,它就会被装置的两个磁体所吸引,由于南磁体作用更强,所以粒子向上偏转。
同样,如果银原子是一个顶部为南、底部为北的磁体,它会被装置的两个磁体所排斥,由于南磁体作用更强,所以粒子向下偏转。通过该装置后,原子被收集在屏幕上。
从经典的观点来看,原子的磁极可以朝任何方向。如果它们是水平的,就不会发生偏转,而且一般来说,偏转的大小与原子的磁轴和水平轴的夹角相对应,当原子磁轴与水平轴垂直时,会发生最大偏转。
如果经典观点是正确的,当我们发射大量的银原子通过装置时,应该在屏幕上看到有一条从顶部到底部的连续的线。但Stern和Gerlach并没有发现这条线。当他们看屏幕时,发现只有两个点:一个在最上面,另一个在最下面。所有的原子都表现得像垂直排列的小条形磁体,并且都没有其他的方向。为什么会这样呢?
在开始更详细地分析发生了什么之前,我们把注意力从原子转移到电子上。不仅原子本身像小磁体一样,其组成部分也如此。在讨论量子计算机时,我们经常会讨论电子及其自旋。
以银原子为例,如果你在垂直方向上测量自旋,会发现电子要么向北偏转,要么向南偏转。同样,就像银原子一样,你会发现电子是小磁体,它们的南北极在垂直方向上完全对齐,并且都没有其他的方向。
实际上,你不能用Stern-Gerlach装置来测量*电子的自旋,正如我们所展示的那样,因为电子带负电荷,磁场使移动的带电粒子偏转。也就是说,下面的图展示了在不同方向上测量自旋的结果。
假设你是粒子源,磁体放置在你和这篇文章之间,图中的点表示电子的偏转方向。图1.2a显示了电子的偏转;图1.2b把电子描绘成磁体,并标出了南北两极。我们把这种情况描述为电子的自旋N在垂直方向上。图1.3显示了另一种可能性,电子的自旋S在垂直方向上。
▲图1.2 电子的自旋N在垂直方向上
▲图1.3 电子的自旋S在垂直方向上
为了理解偏转,由于南磁体的作用比北磁体更强,所以要计算偏转的方向,你只需要考虑南磁体的作用。如果电子的北极靠近南磁体,那么它就会被吸引,并向南磁体方向偏转。如果电子的南极靠近南磁体,那么它就会被排斥,并向北磁体方向偏转。
当然,垂直方向没有什么特别的。例如,我们可以把磁体旋转90°。电子仍然会朝北磁体或南磁体方向偏转。在这种情况下,电子表现为南北极在水平方向上对齐的磁体,如图1.4和图1.5所示。
▲图1.4 电子的自旋N在90°方向上
▲图1.5 电子的自旋S在90°方向上
我们将要以不同的角度旋转磁体。我们会沿顺时针方向测量角度,0°表示垂直向上方向,θ表示与垂直向上方向的夹角。图1.6描述了一个自旋N在θ方向上的电子。
▲图1.6 电子的自旋N在θ方向上
有时自旋被描述为向上、向下、向左或向右。我们描述电子的自旋N在0°方向上,这似乎有些烦琐,但是明确的。特别是当我们将装置旋转180°时,可以避免使用向上、向下等术语的一些缺陷。例如,图1.7中所示的两种情况都表示电子的自旋N在0°方向上,或者自旋S在180°方向上。
▲图1.7 电子的自旋N在0°方向上
在我们继续学习电子自旋之前,先暂停一下,看看我们将会在多个地方用到的一个类比。
01 量子钟
想象一下,你有一个在标准位置上标记着小时的钟,上面也有一个指针。然而,你不能看钟,你只能向它问问题。你想知道指针指向哪个方向,所以你可能想问“指针指向哪个方向”这个简单的问题。但这是不允许的。你只允许问指针是否指向钟面上的特定数字。
例如,你可以问,指针是否指向12,或者你可以问它是否指向4。如果这是一个普通的时钟,你必须非常幸运才能得到一个肯定的答案。大多数时候,指针会指向一个完全不同的方向。
但是量子钟不像普通的时钟。它要么回答“是”,要么告诉你指针指向的方向和你问的方向正好相反。例如,我们问指针是否指向12,它会告诉我们它是指向12还是指向6。如果我们问指针是否指向4,它会告诉我们它指向4,或者指向10。这是一种非常奇怪的状态,但它与电子自旋完全相似。
正如我们所说,电子自旋将会激发定义量子比特的想法。如果要做计算,我们需要理解控制自旋测量的规则。我们首先考虑当测量不止一次时会发生什么。
02 同一方向的测量
测量是可重复的。如果我们重复完全相同的测量,就会得到完全相同的结果。例如,为了测量在垂直方向上的电子自旋,我们在第一个装置后面放置另外两个装置,重复完全相同的实验。
其中一个放置在适当的位置以捕获在第一个装置向上偏转的电子,另一个用来捕获向下偏转的电子。通过第一个装置向上偏转的电子被第二个装置向上偏转,通过第一个装置向下偏转的电子被第二个装置向下偏转。
这意味着,如果最初测到电子的自旋N在0°方向上,那么当我们重复实验时,该电子的自旋N仍在0°方向上。同样,如果最初测到电子的自旋S在0°方向上,那么当我们重复实验时,该电子的自旋S仍在0°方向上。与我们的钟类比,如果反复问指针是否指向12,我们会得到同样的答案:要么总是指向12,要么总是指向6
当然,在垂直方向上测量没有什么特别的。如果我们θ方向上测量,然后在该方向重复测量,我们每次都将获得相同的结果。我们最终会得到一串完全由N组成的字符串或一串完全由S组成的字符串。
接下来要考虑的是如果不重复同样的测量会发生什么。例如,如果先垂直测量,然后水平测量,会发生什么?
03 不同方向的测量
我们首先在垂直方向上测量电子的自旋,然后在水平方向上测量。我们发送电子流通过第一个探测器——测量在垂直方向上的自旋。
和之前一样,我们在第一个探测器后面的适当位置还放置了两个探测器,捕获来自第一个探测器的电子。不同之处在于,这两个探测器都旋转了90°,且在水平方向上测量自旋。
首先,我们来看看通过第一个探测器向上偏转的电子——它们的自旋N在0°方向上。当它们通过第二个探测器时,我们发现:其中一半电子的自旋N在90°方向上,另一半的自旋S在90°方向上。
南北自旋的序列在90°方向上是完全随机的。若一个电子的自旋N在0°方向上,当我们在90°方向上再次测量它时,无法判断它是自旋S还是自旋N。
同样的结果也适用于第一个探测器显示的自旋S在垂直方向上的电子——恰好一半电子的自旋N在水平方向上,另一半的自旋S在水平方向上。同样,N和S的序列是完全随机的。
量子钟也有类似的问题,询问指针是否指向12,然后询问它是否指向3。如果我们有大量的钟,且都问这两个问题,第二个问题的答案将是随机的:一半的钟会说指针指向3,另一半会说指向9。
最后,我们来看看当进行三次测量时会发生什么。我们先垂直测量,然后水平测量,再垂直测量。
考虑来自第一个探测器的电子,它们的自旋N在0°方向上。我们知道当在90°方向上测量自旋时,它们中的一半是自旋N,另一半是自旋S。我们将把注意力放在前两次测量都是自旋N的电子上。
对于第三次测量,测量垂直方向上的自旋。我们发现:恰好有一半电子的自旋N在0°方向上,另一半的自旋S在0°方向上。再一次,N和S的序列是完全随机的。当我们再次在垂直方向上测量时,电子最初的自旋N与它是否仍是自旋N无关。
我们能从这些结果中得出三个重要的结论。
第一,如果我们一直重复同样的问题,会得到完全相同的答案。这意味着,有时候我们会得到明确的答案,并不是每个问题都会得到随机答案。
第二,随机性似乎确实存在。如果我们问一系列问题,最终的结果可能是随机的。
第三,测量会影响结果。我们看到,如果我们问三次同样的问题,会得到三次完全相同的答案。但是,如果第一个和第三个问题是相同的,而第二个问题是不同的,那么第一个和第三个问题的答案不一定相同。
例如,如果连续问三次指针是否指向12,我们每次都得到相同的答案;但如果我们首先问它是否指向12,然后再问它是否指向3,最后问它是否指向12,第一个和第三个问题的答案不一定是相同的。
这两种情况之间的唯一区别是第二个问题,所以这个问题必定会影响接下来的问题的结果。我们将从测量开始,对这些观测做更多的介绍。
04 测量
在经典力学中,我们考虑将球抛向空中的路径,而且路径可以用微积分来计算。但是为了进行计算,我们需要知道一些特定的量,比如球的质量和初速度。如何测量这些量并不是理论的一部分,我们只假设这些是已知的。
隐含的假设是,测量的行为对问题并不重要——进行测量不会影响正在建模的系统。对于一个球被抛向空中的例子,这是合理的。例如,我们可以用雷达枪测量它的初速度。这涉及从球上反弹光子,尽管反弹光子会对球产生影响,但这可以忽略不计。
这是经典力学的基本原理:测量会影响被研究的对象,但可以设计实验,使测量的效果可忽略不计。
在量子力学中,我们经常考虑像原子或电子这样的微小粒子。在这里,反弹光子对它们的影响不再是可以忽略的了。为了执行一些测量,我们必须与系统交互。这些相互作用会扰乱系统,所以我们不能再忽视它们。
测量成为理论的基本组成部分似乎并不令人惊讶,但令人惊讶的是如何做到这一点。例如,考虑这样一种情况:我们首先在垂直方向上测量电子的自旋,然后在水平方向上测量。
我们已经看到,经过第一个探测器后,恰好有一半电子的自旋N在0°方向上,当用第二个探测器测量后,电子的自旋N在90°方向上。似乎磁体的强度对结果有一定的影响。也许它们的强度相当大,使电子的磁轴扭曲,与测量装置的磁场对齐。如果用较弱的磁体,扭曲会减小,我们可能会得到不同的结果。
然而,我们并不是用这样的方式将测量纳入理论的。我们将看到,模型没有考虑测量的“强度”。相反,无论测量是如何进行的,真正对系统产生影响的是测量的实际过程。
每次进行测量时,我们都会看到系统以某些规定的方式发生变化。这些规定的方式取决于测量的类型,而不是测量的强度。
将测量纳入理论是经典力学和量子力学的区别之一,而另一个区别是随机性。
05 随机性
量子力学涉及随机性。例如,如果我们首先在垂直方向测量电子的自旋,然后在水平方向测量,并记录第二个测量装置的测量结果,我们会得到由N或S组成的一串字符串。这个自旋序列是完全随机的,例如,它可能看起来像NSSNNNSS…。
抛一枚均匀硬币是一个经典实验,它可以产生两个符号的随机序列,且每个符号出现的概率为二分之一。如果我们抛一个均匀的硬币,可能会得到序列HTTHHHTT…。尽管这两个例子产生了相似的结果,但在这两个理论中,对随机性的解释有很大的不同。
抛硬币是经典力学描述的事情,可以用微积分来建模。要计算硬币是正面朝上还是反面朝上,首先需要仔细测量初始条件:硬币的重量、离地高度、拇指对硬币的撞击力、拇指撞击硬币的准确位置、硬币的位置等。
考虑到所有这些值,这个理论会告诉我们硬币是正面还是反面朝上。这没有包含真随机性。抛硬币似乎是随机的,因为每次抛硬币的初始条件都略有不同。这些微小的变化可以将结果由正面变为反面,反之亦然。
在经典力学中没有真随机性,只有对初始条件的敏感依赖——输入的微小变化可以被放大,并产生完全不同的结果。量子力学中关于随机性的基本观点是不同的:随机性就是真随机性。
正如我们看到的,从两个方向的自旋测量中得到的序列NSSNNNSS…,其被认为是真随机的。抛硬币得到的序列HTTHHHTT…,这看起来是随机的,但是物理的经典定律是确定的,如果我们能以无限的精度进行测量,这种明显的随机性就会消失。
在这个阶段,人们自然会对此提出质疑。爱因斯坦当然不喜欢这样的解释,他有句名言:上帝不会掷骰子。难道就没有更深层次的理论吗?如果我们知道更多关于电子初始构型的信息,难道最终的结果不是随机的而是完全确定的?难道不存在隐变量吗?一旦我们知道了这些变量的值,明显的随机性就会消失吗?
接下来,我们会介绍真随机性中用到的数学理论,之后再考虑这些问题。我们将描述一个巧妙的实验来区分隐变量和真随机性假设。这个实验已经做过好几次了。结果表明:随机性是真随机的,没有简单的隐变量理论可以消除它。
我们在本文开头就提到,量子比特可以用电子的自旋或光子的偏振来表示。我们将展示自旋的模型和偏振是如何联系在一起的。
关于作者:克里斯·伯恩哈特(Chris Bernhardt),美国费尔菲尔德大学数学系教授,Turing's Vision: The Birth of Computer Science一书的作者。
本文摘编自《人人可懂的量子计算》,经出版方授权发布。
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