想你的夜晚,
我在屋顶做着一个梦。
我和你拥抱在明亮的月光下,
动人的旋律环绕在我俩身边。
开始纠结是否要醒来,
因为梦里有你而更美。
——畅宝宝的傻逼哥哥
前面的文章中,我们提到了点到点算法的连续性,而点到点以及点到集合算法有个更加一般的性质:封闭性,对于点到点算法,这个性质就弱化为连续性。
定义1:
意味着
x1^∈A(x̂ )
那么称算法在点x̂ ∈X处封闭。其中符号xk→x̂ 表示序列{xk}∞k=1收敛到极限x̂
- 对于点到集合算法A,如果对X中的每个点都是封闭的,那么称算法在X上封闭。
这个定义如图1所示,如果x̂ ,x1^之间存在实线,那么称算法A在点x̂ 处封闭,如果对所有x̂ ∈X都存在实线,那么A在X上封闭。
例1:算法A定义为
xk+1=A(xk)={12(xk+2)14xkfor xk>1for xk≤1
如图2所示,说明算法在x̂ =1处不封闭。
解:令序列{xk}∞k为
xk=1+12k+1
由此得到的序列为
{xk}∞k=0={1.5,1.25,1.125,…,1}
因此
xk→x̂ =1
图1
对应的序列{xk+1}∞k=0为
xk+1=A(xk)=12(xk+2)
所以
{xk+1}∞k=0={1.75,1.625,1.5625,…,1.5}
所以
xk+1→x̂ 1=1.5
接下来
A(x̂ )=14
且因为x̂ 1=1.5,我们有
x̂ 1≠A(x̂ )
故A在x̂ =1处不封闭。这个问题是由于A(xk)在xk=1处不连续造成的。
图2
例2:算法A定义为
xk+1=A(xk)=x2kfor −∞<xk<∞
说明A是封闭的。
解:令{xk}是收敛到x̂ 的序列,例xk→x̂ ,那么{xk+1}={A(xk)}={x2k}是收敛到x̂ 2的序列,例x2k→x̂ 1=x̂ 2。因为x̂ 1=A(x̂ ),所以我们可以得出对所有的x̂ ,−∞<x̂ <∞,A是封闭的。