延迟计算

波束形成的基本部分是计算阵列元素之间波到达时间的差异。 波束形成文献主要使用两种方法： 简单几何或矢量点积。 本此介绍使用两种方法如何计算到达阵列元素的平面波前与任意参考点之间的时间差。 当光源被认为距阵列很远时，通常假定为平面波。

• 基本几何计算延迟

下面的左图显示了沿x轴放置的单个麦克风。 这反映了一维数组的单个元素位置（右图）。 在这种设置中，平面波到达的角度是从y轴测量的； 角度为0°是宽边平面波，角度为±90°是端射。

所有延迟测量均参考单个点（在这种情况下为轴原点）进行。

                                        

                                            1D延迟计算                                               线性阵列显示宽边和端射平面波    

波前时间延迟是使用波前必须在参考点和感兴趣的元素之间传播的距离之差计算得出的。 然后通过将该距离除以声速来计算时间。

2D情况如下所示。 采用相同的基本方法； 计算波前必须在原点和元素之间传播的距离差，然后除以声速。 但是，这次距离计算是针对2D的。

                                                                    2D延迟计算

• 向量点积计算延迟

向量点积提供了一种计算波前延迟的简单方法。 下图显示了三个向量。 向量是向量在上的投影。 向量的长度称为在上的标量投影。 正是这种预测提供了计算波前延迟的方法。

              标量投影

使用直角三角形的标准几何形状，可以从向量的长度和两个向量之间的夹角找到向量的长度。

取点积方程式，可以根据向量和的点积和向量的长度重新安排向量的长度。

最后，如果可以确保向量是单位向量（长度为1），那么向量的长度就是向量和的点积。

下图显示了矢量点积如何应用于计算波前延迟。 使用的两个向量是元素（麦克风）位置向量和波前向量。

                          2D 麦克风位置                                                    点击延迟计算

如果波前矢量是单位矢量，则可以如下计算元素与原点之间的波前延迟。

• 例子

这是使用点积计算3D空间中阵列麦克风的波前延迟的示例。 麦克风坐标和波前源方向的示例如下。

首先，将波前方向转换为单位矢量。

使用毕达哥拉斯定理快速验证，发现这是一个单位向量。

然后计算延迟