SVD与线性代数4个基本子空间的关系

G. Strang线性代数公开课中指出的线性代数中最重要内容：四个基本子空间，可以通过对矩阵A的SVD分解完美的展现。
以下内容会逐步完善。

$A=USV^T$A=USVT, 假设 $rank(A)=r$rank(A)=r

1. 行空间$R(A)=C(A^T)$R(A)=C(AT) : $V(1:r,:)$V(1:r,:);
2. 行空间零空间$N(A)$N(A) : $V(r+1:n,:)$V(r+1:n,:);
3. 列空间$C(A)$C(A): $U(1:r,:)$U(1:r,:);
4. 列空间零空间$N(A^T)$N(AT), $U(r+1:m,:)$U(r+1:m,:)。

有了以上关系，则可以轻松的看懂Matlab中自带函数orth, null, rank的源代码，这三者的核心都是SVD。

rank.m
tol = max(size(A)) * eps(max(s));
r = sum(s > tol); % 

orth.m

[Q,S] = svd(A,'econ'); %S is always square.
s = diag(S);
tol = max(size(A)) * eps(max(s));
r = sum(s > tol);
Q(:, r+1:end) = [];

null.m
    [~,S,V] = svd(A,0);
    if isempty(A)
        Z = V;
    else
        if m == 1
            s = S(1);
        else
            s = diag(S);  
        end
        tol = max(m,n) * eps(max(s));
        r = sum(s > tol);
        Z = V(:,r+1:n);
    end