题目描述

某港口有一批集装箱，将其编号，分别为1至N。每一个箱子的外型尺寸都是一样的，现在要将其中某些集装箱叠放起来，集装箱叠放的规则如下：
　　1)每个集装箱上最多只能直接叠放一个集装箱。
　　2)编号较小的集装箱不能放在编号较大的集装箱之上。
　　3)每个集装箱都给出了自身的重量和可承受的重量，每个集装箱之上的所有集装箱重量之和不得超过该集装箱的可承受的重量。
　　现在要求你编程，从中选出最多个集装箱，使之在满足以上条件的情况下叠放起来，即要求叠得尽可能地高。

输入

第一行是一个正整数N，表示共有N个集装箱（1≤ N ≤1000）。
　　以下共有N行，每行两个正整数，中间用空格分隔，分别表示每个集装箱的自身重量和可承受的重量，两个数均为小于等于3000。

输出

输出最多可叠放的集装箱总数。

样例

输入

5  
19 15 
7 13 
5 7 
6 8 
1 2

输出

4

方法1

时间复杂度O(6000n)

解题思路（）

设F[i,j]表示第i个箱子到第N个箱子中总重量为j的最大箱子数,定w[i]表示第i个箱子的自身重量，定c[i]为第i个箱子的承受重量。
状态转移方程（不放和放）：

其中，要$j>=w[i]$j>=w[i]&&$c[i]>=j-w[i]$c[i]>=j−w[i]才可以放箱子上去

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int w[1001],c[1001],f[1005][6005],ans,n;
int main()
{
	 memset(f,-127/3,sizeof(f));//给f赋一个较小的值，便于后面的求判断
	 scanf("%d",&n);
	 for (register int i=1;i<=n;++i)
	 	scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);
	 f[n+1][0]=0;//设定最顶端箱子上一个没重量，要不然会影响结果 
	 for (register int i=n;i>=1;--i)
	 {
	 	for (register int j=0;j<=6000;++j)
	 	{
	 		f[i][j]=f[i+1][j];//不放的情况
	 		if (j>=w[i]&&c[i]>=j-w[i])
	 		 f[i][j]=max(f[i][j],f[i+1][j-w[i]]+1);//放箱子的情况
	 	}
	 }
	 for (register int i=0;i<=6000;++i)
	  ans=max(ans,f[1][i]);//求出最大叠放数量
	 printf("%d",ans);  
}

适用于n比较大，但是每个的自身重量很小的情况。

方法2

时间复杂度 O(n^2)

解题思路

设$f[i][j]$f[i][j]表示第i个箱到第N个箱子叠放j个箱子时可承受的最小重量。
状态转移方程：
$f[i][j]=min(f[i][j]，f[i+1][j-1]+w[i])$f[i][j]=min(f[i][j]，f[i+1][j−1]+w[i])
因为总共就放j个箱子，所以多放一个箱子j就要少一个。
其中，要$j>0$j>0&&$c[i]>=f[i+1][j-1]$c[i]>=f[i+1][j−1]才可以放箱子上去
最后再找出最大的$j$j并输出就可以了。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,w[3001],c[3001],f[1005][6005];
int main()
{             
	int inf=1000000000;
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	 scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	 for (int j=1;j<=n;j++)
	  f[i][j]=inf;//定初值
	f[n][0]=0;
	f[n][1]=w[n];//定初值
	for (int i=n-1;i>=1;i--)
	{
		for (int j=1;j<=n;j++)
		{
			f[i][j]=f[i+1][j];
			if ((j>0)&&(f[i+1][j-1]<=c[i]))
			 f[i][j]=min(f[i][j],f[i+1][j-1]+w[i]);
		}
	}
	int k;
	for (k=n;k>=1;k--)
	 if (f[1][k]!=inf) break;//找出最大的可叠放箱子数。
	printf("%d",k); 
}

适用于n比较小的，每个的自身重量很大的情况