离散数学西电版复习笔记——第一章:命题逻辑
第一章:命题逻辑
一、命题与连接词
1.概念
(1)命题:非真即假的断言
考点:判断是否为命题,标准如下:
①陈述句
②有唯一真值
注意:方程不是命题
(2)命题的判断结果称为真值,真值只有两个值:真,假,用T/F或0/1表示
(3)逆命题,否命题,逆否命题
注意:否命题对原命题的条件和结论都否定。
(4)命题的符号化
先将原子命题符号化,再根据命题含义使用连接词组织原子命题称为复合命题
(5)命题公式的判断
(6)逻辑连接词
-
否定词
-
合取词
-
析取词
- 善意的推断原则
- 区分“可兼或”和“不可兼或”
- 不可兼或由“ ”表示
-
条件词(有多种描述方式)
- q是p的必要条件
- 只要p就q
- 只由q才p
- 因为p所以q
- 除非q才p
- 除非q,否则非p
-
双条件词
(7)命题公式的赋值
考点:写真值表,给出命题公式的真假
(8)重言式(永真式),矛盾式(永假式),可满足式,偶然式
注意:偶然式一定是可满足式,可满足式不一定是偶然式
重言式一定是可满足式,可满足式不一定是重言式
2.定理
(1)代入规则
设A、B是命题公式,其中A是重言式,P 是A中的命题变元,如果将A中每一处出现的 P 均用 B 代入,则所得命题公式 A′仍然是一 个重言式。
(2)替换规则
(3)传递规则
二、命题等价与蕴含
1.命题等价:
当且仅当是重言式
验证:构造真值表法
命题等价公式
2.定理:
替换规则:设A、X、Y是命题公式,X是A的子公式,且有X Y。如果将A中的X用Y来替换(不必每一处都替换),所得到的公式B与A 等价,即 A ⇔ B。
传递规则:设A、B、C是命题公式,若A⇔ B且B⇔C ,则有A⇔ C。
3.命题蕴含
概念:A蕴含B,当且仅当是重言式
证明A蕴含B(即)的方法
①肯定前件法
②否定后件法
常见蕴含公式
定理:当且仅当且
三、连接词的完备集
1.新增连接词
- 条件否定
- 异或
- 与非
- 或非
2.上述连接词的性质
3.全功能连接词集合
4.极小全功能连接词
四、对偶式
1.对偶式的概念
①对于某个命题公式A中只含有:合取,析取,否定
②合取换析取,析取换合取
③T和F互换
所得公式记做,那么是A的对偶式
2.对偶式的性质
3.对偶原理
如果则
五、范式
1.析取式:
只含有:变元,变元的否定,析取的命题公式称为析取式
2.合取式:
只含有:变元,变元的否定,合取的命题公式称为合取式
3.析取范式
合取式通过析取链接
其中为合取式
4.合取范式
析取式通过合取连接
其中为析取式
5.求命题公式的合取范式或析取范式的步骤:
对于任何一个命题公式,都可以求得它的合取范式或者析取范式,步骤如下:
(1)将公式中的联结词都归约成¬、∨和∧。
(2)利用德·摩根定律将否定联结词¬直接移到各命题变元之前。
(3)利用分配律、结合律将公式归约成合取范式或者析取范式。
6.主析取范式
(1)极小项:
一个含 n 个命题变元的合取式,如果其中每个变元与其否定不同时存在,但两者必须出现且仅出现一次,则称该合取式为极小项。
(2)极小项的编码
二进制编码,0为非P,1为P
(3)极小项的性质
a. 每一个极小项当其赋值与编码相同时,其真值为T,在其余 种赋值下其真值均为F。
b. 任意两个不同极小项的合取式永假。
c. 所有极小项的析取式永真
(4)主析取范式
a.主析取范式的定义:
在一个命题公式A的真值表中,使A的真值为 T的所有赋值所对应的极小项构成的析取范式即为A的主析取范式。
b.求法
①构造真值表,找出真值为1的所有的指派
②通过析取范式转换
任何一个命题公式都可以求得它的 析取范式,而析取范式可转化为主析取范式,步骤如下:
(1)将原命题公式转化为析取范式。
(2)将每个合取式等价变换为若干极小项的析取(对每个合取式填补没有出现的变元,如合取(¬P∨P ,再应用分配律展开)
(3)重复的极小项只保留一个。
7.主合取范式
(1)极大项:
一个含n个命题变元的析取式,如果其中每个变元与其否定不同时存在,但两者必须出现且仅出现一次,这样的析取式称为极大项。
(2)极大项的编码:
P编码为0,非P编码为1;
且每个极大项都只对应P和Q的一组真值赋值,使得该极大项的真值为F。
(3)极大项的性质
a.每一个极大项当其真值赋值与编码相同时,其真值为F,在其余种指派下其真值均为T。
b.任意两个不同极大项的析取式永真。
c.所有极大项的合取式永假
(4)主合取范式
a.主合取范式的定义
b.求法
①真值表法,找出真值为0的指派
②通过合取范式转换
任何一个命题公式都可以求得它的合取范式,而合取范式可转化为主合取范式,步骤如下:
(1)将原命题公式转化为合取范式。
(2)将每个析取式等价变换为若干极大项的合取(对每个析取式填补没有出现
的变元,如析取 P ∧¬P ,再应用分配律展开)
8、范式的应用与推论
(1)性质:主析取范式和主合取范式的下标转换为10进制之后是互补的,即,交集为空集,并集为个数字
b.求法
①真值表法,找出真值为0的指派
②通过合取范式转换
任何一个命题公式都可以求得它的合取范式,而合取范式可转化为主合取范式,步骤如下:
(1)将原命题公式转化为合取范式。
(2)将每个析取式等价变换为若干极大项的合取(对每个析取式填补没有出现
的变元,如析取 P ∧¬P ,再应用分配律展开)
8、范式的应用与推论
(1)性质:主析取范式和主合取范式的下标转换为10进制之后是互补的,即,交集为空集,并集为个数字
(2)应用:由于通过一个命题公式的主范式可以清楚地获知该命题公式为真和为假的赋值,因此利用命题公式的主范式可以用于解决一些逻辑推断问题。
六、命题逻辑的推理理论
1.引入
则称C可由逻辑推出,但不一定正确,正确与否取决于前提,或者说条件是否正确
-
前提为真,结论为真
-
前提为假,结论真假不一定
2.推理规则
- 等价式
-
蕴含式
-
P规则
在推导过程中,前提可以由任何步骤引入
-
T规则
如果在推导过程中有已推出的一个或多个结论蕴含S,那么公式S可以加入到推导过程中
3.证明方法
(1)无义证明法
(2)平凡证明法
(3)直接证明法(最常用)
(4)归谬法
- 否定结论
- 将否定结论加入前提
- 利用直接证明法证明
- 推出矛盾
- 得到原证明正确性
(5)CP规则法
- 将前件作为附加条件加入前提
- 推出后件
七、考点&易错点
1.注意条件连接词的几种说法
2.符号化命题时区别“可兼或”和“不可兼或”
3.逻辑推理格式注意
4.常见的结论,比如:n个命题变元对应的不等价的命题公式共有个
5.常见的推理公式:拒取式,假言推理,析取主范式