博弈论笔记--03--迭代剔除和中位选民定理

迭代剔除策略:先站在所有人的角度，删除所有的劣势策略，然后重复这个过程。
Game One–中间选民定理的例子
博弈者：2个Players需要选择自己的政治立场。
策略选项：一共有1-10种政治立场，每种都有10%的选民支持。
收益:候选者要最大化取得选票，他们需要胜利。
1代表极端左派(保守)，10代表极端右派(激进)
这些选民最终会选择最接近他们的候选人进行投票。
这个博弈不会出现平局。
分析：
这里存在一个劣势策略，那就是选择立场1。
选择了立场1，收益没有其他立场收益高。
比如：
V1 $u_{i}$ (1,1) = 50%, $u_{i}$ (2,1) = 90%
V2 $u_{i}$ (1,2) = 10%, $u_{i}$ (2,2) = 50%
V3 $u_{i}$ (1,3) = 15%, $u_{i}$ (2,3) = 20%
V4 $u_{i}$ (1,4) = 20%, $u_{i}$ (2,4) = 25%
…………
同理可以得到另一个劣势策略，那就是选择立场10
结论：此时立场2严格优于1，立场9严格优于10
以此类推，迭代删除最终会得到的优势策略为立场5和立场6.
这个模型在政治学中叫做”中间选民定理”
预测了候选人将会向中间立场靠拢。
缺陷:
1.现实中有多名候选人，不只是两名
2.候选人的立场可能不坚定，不能承诺政策实施
3选择候选人的时侯是包含其他维度(条件)的，比如选民喜好等
4.选民的投票不是均匀分布的(但是实际不影响结果)
5.选民可能会弃权
Conclusion:
模型都是抽象的
对于上面的例子是否立场3严格优于立场2？
由于U1(2,1)=90% < U1(3,1)=85%
所以立场3不严格优于立场2
但是当我们已经明确候选人已经不会选择立场1和立场10这两个严格劣势策略的时候，
立场3才严格优于立场2。
这里只是相当与去掉了立场1和立场10，但是选票和选民依然存在。
V2 $u_{i}$ (2,2) = 50%, $u_{i}$ (3,2) = 80%
V3 $u_{i}$ (2,3) = 20%, $u_{i}$ (3,3) = 50%
V4 $u_{i}$ (2,4) = 25%, $u_{i}$ (3,4) = 30%
V5 $u_{i}$ (2,5) = 30%, $u_{i}$ (3,5) = 35%
V6 $u_{i}$ (2,6) = 35% , $u_{i}$ (3,6) = 40%
V7 $u_{i}$ (2,7) = 40% , $u_{i}$ (3,7) = 45%
V8 $u_{i}$ (2,8) = 45%, $u_{i}$ (3,8) = 50%
V9 $u_{i}$ (2,9) = 50% , $u_{i}$ (3,9) = 55%
…………
A different approach :Best Response
Game Two–Player1会选择上中下，Player2可以选择左右，
收益如下：

P1/P2	L	R
U	5,1	0,2
M	1,3	4,1
D	4,2	2,3

如果是Player1,他的BR(Best Response)？
选择”上”是对应Player2选择”左”的最佳选择
选择”中”是对应Player2选择”右”的最佳选择
当对手选择左右的概率相等的时候，此时最好的选择是下。
Ui(u)=0.5*5+5*0=2.5收益
Ui(M)=1*0.5+4*0.5=2.5收益
Ui(D)=0.5*4+0.5*2=3收益
但是情况可能不一样，比如Player2选择左右的概率为pos1,pos2时就需要重新计算。
假设Player2选择右的概率为 $P_{x}$ ,收益如下：
$u (U, L)$ = $(1 - P_{x})$ * 5 + 0 * $P_{x}$ = 5* $P_{x}$
$u (D, L)$ = $(1 - P_{x})$ * 1 + 4 * $P_{x}$ = 4 - 3 * $P_{x}$
$u (M, L)$ = $(1 - P_{x})$ * 4 + 2 * $P_{x}$ = 2 + 2 * $P_{x}$
所以画图表示如下：
其中 $P_{1}$ = $u (U, L)$ , $P_{2}$ = $u (D, L)$ , $P_{3}$ = $u (M, L)$ ,横坐标表示Player2选择左的概率。
博弈论笔记--03--迭代剔除和中位选民定理
如果认为对方选择右(R)的概率小于x的话，BR=U，相对的，如果概率大于y时，
BR=M，如果概率落在 $x$ ~ $y$ 之间，则BR=D。
联立三个直线方程，可以求得
$x = 1 / 3$ , $y = 2 / 3$

博弈论笔记--03--迭代剔除和中位选民定理

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