博弈论笔记--04--足球比赛与商业合作之最佳对策

Game One–点球
点球案例
在一次足球比赛罚点球时，罚球队员可以选择L,M,R三种不同射门路径；门将可以选择扑向左路或者右路（原则上讲他也可以守在右路）。

Lesson:绝不选择在任何情况下都不是最佳反应的策略 当然这个缺少很多限制，所以结论并不准确。比如点球射门时，排除丢失的情况下，力度上升精度就会有所下降

最佳反应（经常缩写为BR$BR$）：
Player(i)选的的si∗$s{i}^{\ast }$策略就是对于其他博弈者选择S−i$S-i$策略的最佳反应，其条件是Ui$U_i$(Si∗$S{i}^{\ast }$)–博弈者i选择策略i而非S−i$S-i$获得的收益比选择其他策略(即Si′$S{i}^{\prime }$)更高时，此处所有的Si′$S{i}^{\prime }$策略都适用于博弈者i$i$
或者定义为：Si∗$S{i}^{\ast }$（Player(i)的策略）等于max Ui$U_i$(s-si$s_i$),即别人选择S−i$S-i$时的最大收益
博弈者i的策略，对于其他博弈者的选择，所持有的信念P的最佳反应，条件是博弈者i在坚持信念P$P$的情况下选择的期望收益大于选择其他策略—E$E$(ui$u_i$)(si∗$s{i}^{\ast }$,P$P$）>=E$>=E$(ui$u_i$)(S−i$S-i$,p$p$）
期望收益=各项收益乘以对应概率 E=$E=$Xi$X_i$*Pi$P_i$（i~n）

合作关系博弈：两个人要为一个合办项目进行投资，届时将利润进行均摊。
转换为:
1. 两个代理人(博弈者)投资一个公司，没人分的50%利润，
同时每个代理人将根据自己的能力(努力程度)对公司进行投资
（S[0,4]代表贡献值，可以选择0~4这个闭区间之间任意的一个实数）
2. 利润公式为=4*(s1$s_1$+s2$s_2$+b*s1$s_1$*s2$s_2$),其中b为一个相关参数，假设b=[0,1/4],并且一已知。
3. 从公式2可以看出多人合作会有协同作用，收益加成
4. U1$U_1$（S1$S_1$,S2$S_2$）=1/2$1/2$(4$4$(s1$s_1$+s2$s_2$+b$b$s1$s_1$s2$s_2$))−$-$s21$s_1^2$,
其中S1^2是投资成本，即为投入部分
U2$U_2$（S1$S_1$,S2$S_2$）=1/2$1/2$(4$4$(s1$s_1$+s2$s_2$+b$b$s1$s_1$s2$s_2$))−$-$s22$s_2^2$,
其中S1^2是投资成本，即为投入部分

对于Player2每种可能的选择S2$S_2$，如何找到Player1会做的和后最佳反应？
由于此时的策略有无穷个，所以需要微积分。
1.求u1$u_1$的最大值，对u1求导，且ui=0,此时s1为自变量
即U1$U_1$=2*(s1$s_1$+s2$s_2$+b$b$s1$s_1$s2$s_2$)−$-$s21$s_1^2$=2*(1+$(1+$b$b$s2$s_2$)−$)-$2$2$s1$s_1$=0
即一阶导数为0，解的s1=1+b∗s2$s_1=1+b\ast s_2$;
求二阶导数=-2<0，则可知所求为最大值.

则对s2的最佳反应为BR(s1)=1+b∗s2$BR(s_1)=1+b\ast s_2$;
同理可得博弈者2对s1$s_1$的最佳反应为BR(s2)=1+b∗s1$BR(s_2)=1+b\ast s_1$;

根据上述方程做出曲线可以得到博弈者1和博弈者2的最佳反应策略都在1~2之间，接着而删除了非最佳反应策略，重复画图（舍弃不是最佳反应的策略），最后最佳反应就会收敛于一个交集，即两者的交点,这个点叫做纳什均衡(Nash Equilibrium),简称NE,在这个点上，双方都采取最BR。

同时满足BR(S1)$BR(S_1)$和BR(S2)$BR(S_2)$,得到s1=s2=1/(1−b)$s_1=s_2=1/(1-b)$，
结论：工作量减少了，效率反而降低了
理由：对自己的额外投资，需要承担所有的边际成本，但是却只能得到一半的利益，经济学上叫做”外部性”