冈萨雷斯《数字图像处理》学习笔记（3）--频率域滤波(含傅里叶变换推导)

频率域滤波所有的滤波都是通过傅里叶变换在频率域实现的，所以我们先重点提出傅里叶变换。

一、傅里叶变换基础

一维傅里叶变换数学推导

首先，我们知道傅里叶级数，形如：

f (x) = a_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} [a_{n} c o s (n ω x) + b_{n} s i n (n ω x)] \dots (1)

是由三角函数系

1 ， c o s x ， s i n x ， c o s 2 x ， s i n 2 x ， \dots ， c o s n x ， s i n n x ， \dots (2)

经过组合所产生的三角级数。

a_{0} ， a_{n} ， b_{n}

称为傅里叶系数。为了求傅里叶系数，我们先引出下面的预备知识。

三角函数系(2)中任何两个不相同的函数的乘积在 $[- \frac{T}{2} ， \frac{T}{2}]$ 上的积分等于0。即：

\begin{matrix} (1) & {\begin{array}{lr} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} c o s n x d x = \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} s i n n x d x = 0 \\ \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} c o s n x s i n m x d x = 0 \\ \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} c o s n x c o s m x d x = \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} s i n n x s i n m x d x = 0 (m \neq n) \end{array} \end{matrix}

而三角函数系(2)中任何两个相同函数的乘积在

[- \frac{T}{2} ， \frac{T}{2}]

上的积分都不等于0。

\begin{matrix} (2) & {\begin{array}{lr} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} c o s^{2} n x d x = \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} s i n^{2} n x d x = \frac{T}{2} \\ \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} 1^{2} d x = T \end{array} \end{matrix}

对（1）式在

[- \frac{T}{2} ， \frac{T}{2}]

逐项积分，

\int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f (x) d x = a_{0} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} d x + \sum_{1}^{\infty} [a_{n} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} c o s (n ω x) d x + b_{n} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} s i n (n ω x) d x]

由上面的预备知识，我们知道上式右边括号内的积分等于0，所以

\int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f (x) d x = a_{0} T

故

a_{0} = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f (x) d x

现以 $c o s (n ω x)$ 乘（1）式两端，再同上逐项积分，我们得到：

\int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f (x) c o s (n ω x) d x = a_{0} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} c o s (n ω x) d x + \sum_{n = 1}^{\infty} [a_{n} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} c o s (n ω x) c o s (n ω x) d x + b_{n} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} s i n (n ω x) c o s (n ω x) d x]

等式右边除了

\int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} c o s^{2} n ω x d x = \frac{T}{2}

外，其他积分项都等于0，即

\int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f (x) c o s (n ω x) d x = a_{n} \frac{T}{2}

故

a_{n} = \frac{2}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f (x) c o s (n ω x) d x

同理，用

s i n (n ω x)

乘以（1）两端并在

[- \frac{T}{2} ， \frac{T}{2}]

逐项积分，可得

b_{n} = \frac{2}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f (x) s i n (n ω x) d x

三个系数求完后，我们尝试把它化为指数形式。这时我们需要用到欧拉公式

\begin{matrix} (3) & {\begin{array}{lr} e^{j n ω x} = c o s (n ω x) + j s i n (n ω x) \\ e^{- j n ω x} = c o s (n ω x) - j s i n (n ω x) \end{array} \end{matrix}

联立两式得到

\begin{matrix} (4) & {\begin{array}{lr} c o s (n ω x) = \frac{e^{j n ω x} + e^{- j n ω x}}{2} \\ s i n (n ω x) = \frac{e^{j n ω x} - e^{- j n ω x}}{2 j} \end{array} \end{matrix}

将上式代入（1）中，替换

c o s (n ω x)

和

s i n (n ω x)

，得到

\begin{aligned} (5) & f (x) & = a_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} [a_{n} c o s (n ω x) + b_{n} s i n (n ω x)] \\ (6) & = a_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} [a_{n} \frac{e^{j n ω x} + e^{- j n ω x}}{2} + b_{n} \frac{e^{j n ω x} - e^{- j n ω x}}{2 j}] \\ (7) & = a_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} [e^{j n ω x} \frac{a_{n} - j b_{n}}{2} + e^{- j n ω x} \frac{a_{n} + j b_{n}}{2}] \dots (3) \end{aligned}

我们令

c_{0} = a_{0} = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f (x) d x

\begin{aligned} (8) & c_{n} & = \frac{a_{n} - j b_{n}}{2} \\ (9) & = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f (x) c o s (n ω x) d x - j \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f (x) s i n (n ω x) d x \\ (10) & = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f (x) [c o s (n ω x) - j s i n (n ω x)] d x \\ (11) & = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f (x) e^{- j n ω x} d x \end{aligned}

$c_{- n} = \frac{a_{n} + j b_{n}}{2} = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f (x) e^{j n ω x} d x$

整理一下得到

\begin{matrix} (12) & {\begin{array}{lr} c_{0} = a_{0} = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f (x) d x \\ c_{n} = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f (x) e^{- j n ω x} d x n = 1 ， 2 ， \dots \\ c_{- n} = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f (x) e^{j n ω x} d x n = 1 ， 2 ， \dots \end{array} \end{matrix}

结合上面三个式子，我们可以写成如下：

c_{n} = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f (x) e^{- j n ω x} d x n = 0 ， \pm 1 ， \pm 2 ， \dots

故，将上式代入（3）式，我们得到傅里叶变换的指数公式：

f (x) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} e^{- j n ω x}

傅里叶变换的理解

不了解傅里叶变换的可以先看这个链接
如何直观形象、生动有趣地给文科学生介绍傅里叶变换？

傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工（例如去噪）。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号（得到去噪后的图片）。

冈萨雷斯《数字图像处理》学习笔记（3）--频率域滤波(含傅里叶变换推导)

在处理图像时，图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域（图像比较柔和），对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高（有可能是噪声）。傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义，设 f 是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示 f 的谱。从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域。其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。（这段摘自他人）

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