1. 介绍

滤波器有高通滤波器，低通滤波器和由两个截止频率定义的滤波器
还有全通滤波器，它不会造成任何衰减，只会改变频率的相位

2. 频率响应

频率响应告诉我们一个滤波器会如何影响输入的正弦信号
记住周期信号可以用傅里叶级数表达，频率响应允许我们分析滤波器对任何输入信号做出的响应

我们通常用 $H(j\omega)$ 来表示频率响应，这是一个复数，并且可以根据电路进行计算

滤波器设计
比如这幅图的频率响应为 $H(j\omega)=\frac{1}{1+j\omega CR}$

多数情况下，我们更关心频率响应的模和幅值，而不是实部和虚部

定义
$G(\omega)=|H(j\omega)|$
$\phi(\omega)=arg(H(j\omega))=arctan(\frac{Im(H(j\omega))}{Re(H(j\omega))})$
如果 $Re(H(j\omega))=0$ ，则 $\phi(\omega)=\pi$

这里的 $G(\omega)$ 被称为滤波器的增益响应，它们与图一中 $1/RC$ 的关系为：
滤波器设计

给这个滤波器输入一个信号 $x(t)=Acos(\omega t)$
则输出信号为： $AG(\omega)cos(\omega t+\phi(\omega))$
这是一个与输入信号频率相同的信号，不过它拥有一个大小为 $G(\omega)$ 的幅度，和一个超前的相位 $\phi(\omega)$

现在我们用另一种形式表达输出信号：
滤波器设计
可以看到，超前的相位 $\phi(\omega)$ 与时间延迟 $-\phi(\omega)/\omega$ 是等价的。
对于滤波器，我们希望所有频率的延迟都相同，这也就意味着 $-\phi(\omega)/\omega$ 必须得是一个常数k

3. 黄油低通近似

理想上，我们希望拥有垂直截至的增益响应和线性的相位响应，下图是一个理想低通滤波器的响应
滤波器设计
不幸的是，这在现实中是不可能的，所以我们必须用现实中存在的滤波器来近似地得到理想滤波器

上图中的理想滤波器拥有截止频率 $\omega_c (rad/s)$ 和延迟k(s)，它的表达式为：
滤波器设计
对这个滤波器执行黄油近似，n次近似的公式为：

次数n决定了近似的精确度，以及所需电路的复杂度
n越大，这个滤波器就越接近理想滤波器，但是搭建该滤波器的元件也越多
下图显示了截止频率 $\omega_c=1$ 时 $G(\omega)$ 与 $\omega$ 在不同n下的关系：

在滤波器设计的这个阶段，我们通常会先忽略相位，更进一步的电路会将相位响应也调整到与理想近似，但我们这里不会涉及

4. 高通，带通和带阻近似

高通，带通和带阻近似都可以从低通近似中推导得来

5. 传递函数

为了设计一个理想的滤波器电路，我们需要用到传递函数这个概念
对于一个滤波器，他的输出信号的拉普拉斯变换为 $V_{out}(s)$ ，输入信号的拉普拉斯变换为 $V_{in}(s)$
它们之间的关系为：
$V_{out}(s)=H(s)V_{in}(s)$
其中 $H(s)$ 就是传递函数，它一般是关于s的多项式的函数，举个例子，图一电路的传递函数为：
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \farc at position 6: H(s)=\̲f̲a̲r̲c̲{1}{1+RCs}
一个电路的转移函数与它的频率响应是紧密相关的，如果我们用 $j\omega$ 取代传递函数中的s，我们就可以得到频率响应 $H(\omega)$

6. 滤波器设计

设计一个实际中的滤波器电路有两步

找到传递函数 $H(s)$ ，用 $j\omega$ 取代s得到频率响应，再取模得到 $G(\omega)$
设计传递函数为 $H(s)$ 的电路

两个问题都可以用黄油低通近似法解决，得到传递函数为：
$H(s)=\frac{1}{B_n(s/\omega_c)}$
其中 $B_n$ 的表达式随n的奇偶变化：
滤波器设计
用 $s/\omega_c$ 取代 $B_n$ 中的s就可以得到 $B_n(s/\omega_c)$

n=1,2,3,4时对应的 $B_n(s)$ 如下表所示：
滤波器设计
右边s的多项式被称为黄油多项式，这样第一步就完成了
接着我们进行第二步，在第二步中，有四种常见的滤波器电路：

使用运算放大器的有源滤波器
只使用电阻，电容和电感的无源滤波器
使用晶振的压电滤波器，晶振会在一小段频率内与物体发生共振，并产生机械振动
数字滤波器，接收数字信号，并由电脑或微处理器进行滤波
接下来我们将详细介绍这四种滤波器

7. 有源滤波器

因为运算放大器的限制，有源滤波器仅小于1MHz的低频信号
滤波器设计
上图是一个可能是最简单的有源低通滤波器，它使用了增益为K的放大器（通常为带有反馈的运算放大器），两个电阻与电容的大小相同，它的传递函数为：

假设我们希望实现一个截止频率为 $\omega_c$ 的2次黄油低通传递函数，根据上表，我们可以得到
滤波器设计
使 $RC=s/\omega_c$ ，使K满足 $(3-K)=1.414$ ，我们可以得到K=1.59
为R取一个方便计算的数字，这里取 $10k\Omega$ ，得到 $C=100/\omega_c$
但是我们会发现，这个式子的分子无法等于1了，意味着这个滤波器的输出会被K改变，K通常大于1.
然而这不是什么大问题，我们可以轻易地用电位计或其它什么东西来补偿

高阶黄油传递函数可以用一个二阶传递函数和一个阶为奇数的一阶传递函数相乘来表示
每一个一阶传递函数都可以通过下图的电路实现
滤波器设计
该电路的传递函数为：

这个电路还可以通过将输入与输出相连来级联，必要时可以使用电位计来补偿

8. 高通有源滤波器

得到截止频率为 $\omega_c=1\ rad/sec$ 的低通滤波器的传递函数，将其中的s换成 $\omega_c/s$ ，我们就得到了截止频率为 $\omega_c$ 的高通滤波器的表达式：
滤波器设计
将图9中的两个电阻和两个电容交换位置，可以得到高通传递函数为：

同样的，在截止频率不是太接近的情况下，带通滤波器可以通过级联高通滤波器和低通滤波器来设计

9. 压电滤波器

压电滤波器可以拥有非常小的通带（10kHz），通常用于收音机接收器

10. 无源滤波器

无源滤波器通常用于高频滤波，也会出现在扬声器等交叉电路中，这种滤波器的设计很复杂，但我们可以直接使用书中给出的黄油近似，这里不多介绍

滤波器设计