机器学习面试中常问到的算法问题1----L1正则化与L2正则化的区别以及为什么L1正则化可以产生稀疏矩阵，L2正则化可以防止过拟合**

一、L1正则化与L2正则化的区别以及为什么L1正则化可以产生稀疏矩阵，L2正则化可以防止过拟合

正则化（regularization）：机器学习中几乎都可以看到损失函数后面会添加一个额外项，常用的额外项一般有两种，一般英文称作L1-norm和L2-norm，中文称作 L1正则化 和 L2正则化，或者 L1范数 和 L2范数。
L1正则化和L2正则化可以看做是损失函数的惩罚项。所谓『惩罚』是指对损失函数中的某些参数做一些限制。对于线性回归模型，使用L1正则化的模型建叫做Lasso回归，使用L2正则化的模型叫做Ridge回归（岭回归）。
下图是Python中Lasso回归的损失函数，式中加号后面一项$\alpha||\omega||_1$α∣∣ω∣∣1​即为L1正则化项。

下图是python中Ridge回归的损失函数，式中加号后面一项$\alpha||\omega||^{2}_2$α∣∣ω∣∣22​即为L2正则化项。

一般回归分析中，回归$\omega$ω表示特征的系数，从上式可以看到正则化项是对系数做了处理（限制）。L1正则化和L2正则化的说明如下：

• L1正则化是指权值向量$\omega$ω中各个元素的绝对值之和，通常表示为$||\omega||_1$∣∣ω∣∣1​即为权值向量的一范式

• L2正则化是指权值向量$\omega$ω中各个元素的平方和，即为权值向量的二范式。
  一般都会在正则化项之前加一个系数，python中用$\alpha$α表示，一些文章也用$\lambda$λ表示。这个系数需要用户指定。
  那么添加L1和L2正则项有什么用？，下面就是L1正则化和L2正则化的作用，这些表述可以再很多文章中找到。

• L1正则化可以产生稀疏权值矩阵，既产生一个稀疏模型，可以用于特征选择。

• L2正则化可以防止模型过拟合（overfitting），一定程度上，L1也可以防止过拟合。

稀疏模型与特征选择
上面提到L1正则化有助于生成一个稀疏权值矩阵，进而可以用于特征选择。为什么要生成一个稀疏矩阵？
稀疏矩阵指的是很多元素为0，只有少数元素是非零值的矩阵，即得到的线性回归模型的大部分系数都是0. 通常机器学习中特征数量很多，例如文本处理时，如果将一个词组（term）作为一个特征，那么特征数量会达到上万个（bigram）。在预测或分类时，那么多特征显然难以选择，但是如果代入这些特征得到的模型是一个稀疏模型，表示只有少数特征对这个模型有贡献，绝大部分特征是没有贡献的，或者贡献微小（因为它们前面的系数是0或者是很小的值，即使去掉对模型也没有什么影响），此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。这就是稀疏模型与特征选择的关系。
L1和L2正则化的直观解释
这部分内容将解释为什么L1正则化可以产生稀疏模型（L1正则是怎么让系数等于零的），以及为什么L2正则可以防止过拟合。
L1正则化和特征选择
假设有如下带L1正则项的损失函数：

其中$J_0$J0​是原始的损失函数，加号后面的一项是L1正则化项，$\alpha$α是正则化系数。注意到L1正则化是权值的绝对值之和，$J$J是带有绝对值符号的函数，因此$J$J是不完全可微的。机器学习的任务就是要通过一些方法（比如梯度下降）求出损失函数的最小值。当我们在原始损失函数$J_0$J0​后添加L1正则化项时，相当于对$J_0$J0​做了一个约束。令$L = \alpha\sum_\omega|\omega|$L=αω∑​∣ω∣,则$J=J_0+L$J=J0​+L,此时我们的任务变成在$L$L约束下求出$J_0$J0​取最小值的解。考虑二维情况，即只有两个权值$\omega_1,\omega_2$ω1​,ω2​,此时$L=|\omega_1|+|\omega_2|$L=∣ω1​∣+∣ω2​∣对于梯度下降法，求解$J_0$J0​的过程可以画出等值线（因为我们的损失函数是平方和损失，张展开后可以化成关于$\omega_1,\omega_2$ω1​,ω2​的椭圆的形式，因此等值线是椭圆形的），同时L1正则化的函数L也可以在$\omega_1,\omega_2$ω1​,ω2​的二维平面上画出来。如下图：

图一：L1正则化寻优过程
图中等值线是$J_0$J0​的等值线，黑色方形是L函数的图形。在图中，当$J_0$J0​等值线与L图形首次相交的地方就是最优解。可以看到，最先相交的地方一定在坐标轴上，然而在坐标轴上（例如交点$\omega_1$ω1​轴）只有$\omega_1$ω1​的值不等于零，其余维度的值都为零，多维情况更是如此。这就是为什么L1正则化可以产生稀疏模型，进而可以用于特征选择。
而正则化前面的系数$\alpha$α，可以控制L图形的大小。$\alpha$α越小，L的图形越大，$\alpha$α越大，L的图形越小，可以小到黑色方框只超出原点范围一点点，这就是嘴有点的值可以取到的最小的值。（正则项整体大小不变时，α越小（惩罚越弱），相应的w就越大（w越不受限），图形就越大（越容易过拟合）。）
类似，假设有如下带L2正则化项的损失函数：

同样可以画出他们在二维平面上的图形，如下：

可以看出，二维平面的L2正则化的函数图形是个圆（高维会变成球），此时，寻找的最优点不在坐标轴上，各个维度的参数值都不为零，这就是为什么L2正则化不具有稀疏性的原因。

L2正则化和过拟合
拟合过程中通常都倾向于让权值尽可能小，最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。可以设想一下对于一个线性回归方程，若参数很大，那么只要数据偏移一点点，就会对结果造成很大的影响；但如果参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响，专业一点的说法是『抗扰动能力强』。
那么为什么L2正则化可以获得值很小的参数？
以线性回归中的梯度下降法为例。假设要求的参数为$\theta$θ，$h_\theta(x)$hθ​(x)是我们的假设函数。线性回归一般使用平方差损失函数。单个样本的平方差是$(h_\theta(x)-y)^{2}$(hθ​(x)−y)2，如果考虑所有的样本，损失函数是对每个样本的平方差求和，假设有m个样本，线性回归的代价函数如下，为了后续的处理方便，乘以一个常数$\frac{1}{2m}$2m1​:

在梯度下降算法中，需要先对参数求导，得到梯度。梯度本身是上升最快的方向，为了让损失尽可能小，沿梯度的负方向更新参数即可。对于单个样本，先对某个参数$\theta_j$θj​求导：

注意到$h_\theta(x)$hθ​(x)的表达式是$h_\theta(x)=\theta_0x_0+\theta_1x_1+....+\theta_nx_n$hθ​(x)=θ0​x0​+θ1​x1​+....+θn​xn​。单个样本对某个参数$\theta_j$θj​求导，$\frac{\partial h_\theta(x)}{\partial\theta_j}=x_j$∂θj​∂hθ​(x)​=xj​，最终上式可化简为：

在考虑所有样本的情况下，将每个样本对$\theta_j$θj​的导数求和即可，得到下式：

梯度下降算法中，为了尽快收敛，会沿梯度的负方向更新参数，因此在上式前面添加一个负号，并乘以一个系数$\alpha$α（既学习率），得到最终用于迭代计算参数$\theta_j$θj​的形式：

上式是没有添加L2正则化项的迭代公式，如果在原始代价函数之后添加L2正则化，则迭代公式会变成下面的样子：

其中，$\lambda$λ就是正则化参数。从上式可以看到，与未添加L2正则项的迭代公式相比，每一次迭代，$\theta_j$θj​都要先乘以一个小于1的因子，从而使得$\theta_j$θj​不断减小，因此总的来看，$\theta$θ是不断减小的。

最开始也提到L1正则化在一定程度上也可以防止过拟合。之前做了解释，当L1的正则化系数很大时，得到的最优解会很小，可以达到和L2正则化项类似的效果。

正则化参数的选择：
从图上和公式上都可以看出，不管是L1正则，还是L2正则，当正则化惩罚项的参数$\lambda$λ越大时。与等高线相交的图像范围就越小，最后求得代价函数最值时各参数也会变的很小。但是过大的$\lambda$λ又有可能产生欠拟合的风险。

参考博客：
https://blog.****.net/jinping_shi/article/details/52433975