LeetCode60-第k个排列

给出集合 $[1,2,3,…,n]$[1,2,3,…,n]，其所有元素共有 n! 种排列。

按大小顺序列出所有排列情况，并一一标记，当 n = 3 时, 所有排列如下：

"123"
"132"
"213"
"231"
"312"
"321"

给定 n 和 k，返回第 k 个排列。

说明：

给定 n 的范围是[1, 9]。
给定 k 的范围是[1, n!]。

示例 1:

输入: n = 3, k = 3
输出: "213"

示例 2:

输入: n = 4, k = 9
输出: "2314"

一、思路

（一）字典序

我们知道，如何求解下一个字典序：

（1）从右往左找出第一个：顺序对

$j={max(i|num[i])&lt;num[i+1]}$j=max(i∣num[i])<num[i+1]

（2）从$num[j]$num[j]的位置开始，往右找到第一个大于$num[j]$num[j]的数：$num[k]$num[k]

$k={min(i|num[i]&gt;num[j]并且i&gt;j)}$k=min(i∣num[i]>num[j]并且i>j)

（3）交换$num[k]$num[k]与$num[j]$num[j]的位置

（4）将$j$j之后的数组进行翻转：

原来是：$num[j+1]....num[k]....num[n]$num[j+1]....num[k]....num[n]
翻转后：$num[n]num[n-1]....num[k]....num[j+1]$num[n]num[n−1]....num[k]....num[j+1]

（5）组合起来即得到下一个排序

这个方法显然是不适用于这道题，我们知道k最大为n!，此时这个算法的时间复杂度将会超出你的想象

（二）算数技巧

这道题本质上是一个算数的问题。

我们知道以 $i$i 开头的序列有：(n-1)! 个
并且以$（i+1）$（i+1）开头的序列必然会大于以 $i$i 开头的序列

所以我们知道了：
$k$k 如果属于 $[1,(n-1)!]$[1,(n−1)!] ，那么它的排列的第一个数字一定是：1
$k$k 如果属于 $[(n-1)!+1,2*(n-1)!]$[(n−1)!+1,2∗(n−1)!] ，那么它的排列的第一个数字一定是：2
…

因此，我们通过这样的方法，来缩小排列的范围

在确定了第一个范围之后，第二个范围也能用同样的方法确定下来，一直到第n个数确定下来

从上面的描述可以知道，这是一个递归求解的方案。

C++代码

class Solution {
public:
	string s;
	string getPermutation(int n, int k) {
		string sum = "123456789";
		string nums = sum.substr(0, n);
		recursion(k, n, nums);
		return s;
	}

	void recursion(int k, int n, string nums) {
		if (n == 0)
			return;
		int fact = factorial(n - 1);
		int m = (k - 1) / fact;
		n--;
		s.push_back(nums[m]);
		nums.erase(m, 1);
		k -= m * fact;
		recursion(k, n, nums);
	}

	int factorial(int n) {
		int s = 1;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			s *= i;
		return s;
	}
};

执行效率：