Toeplitz matrix 与 Circulant matrix
之所以专门定义两个新的概念,在于它们特殊的形式,带来的特别的形式。
1. Toeplitz matrix
- 对角为常数;
的矩阵 是 Toepliz 矩阵当且仅当,对于 有:
表示行号减去列号,对于 的 Toeplize 矩阵共 个不同的值,即 。
2. Toeplize 矩阵与卷积和傅里叶变换到关系
长度为 的信号 ,与长度为 的卷积核 ,二者之间的卷积可通过矩阵乘法的方式计算:
同样地根据卷积的性质,也有:
-
由左边的 Toeplize 矩阵可知,Toeplize 矩阵不必是方阵;下面来看该矩阵的维度信息,如下图所示:
上面在 wikipedia 中复制过来的矩阵信息其实是当 时的情形,且 。
3. Circulant matrix
是一种特殊的 Toeplitz 矩阵。
如下为一个 Circulant matrix 的基本形式:
在 Toeplize 的基础上,Circulant 进一步的要求是每一个行向量,是前一个行向量的循环右移一个元素。