卷积的困惑

卷积这个概念，在复变函数与积分变换里面提到过，而在处理信号的时候应用广泛，在书里给出了定义与各种性质，也给出了实例与图解法求卷积，但是为什么要这么设计，这么计算背后的意义是什么，往往语焉不详。

教科书中一般定义函数$f,g$f,g的卷积$f*g(t)$f∗g(t)如下：

连续形式：
$f(t)*g(t)=\int_{-\infty}^\infty f(\tau)g(t-\tau)d\tau$f(t)∗g(t)=∫−∞∞​f(τ)g(t−τ)dτ
离散形式：
$f(t)*g(t)=\sum_{\tau=-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\tau)$f(t)∗g(t)=τ=−∞∑∞​f(τ)g(t−τ)

并且也说明了，现将$g(t)$g(t)进行翻转，相当于在数轴上把$g$g以纵轴为轴翻转180度，然后再把$g$g右移$t$t，再把$g$g和$f$f相乘，然后相加或者求下围面积。

但是这个样子，只是从计算上解释了卷积的公式。从数学上讲没有bug，但是这个样子能看懂，但是理解不了啊。那么该怎么理解它呢？

吃饭与消化中的卷积

正常吃饭

我们就拿吃饭与人体的消化作为例子，来讲解一下。
首先假设一个人名为甲，一日食三餐，早上6点，中午12点和下午六点各食一餐，如下图所示，并将此定义为$f(t)$f(t)：

再次假设人吃进去东西，过了时间t剩下的量的函数如下图所示，并将此定义为$g(t)$g(t)：

现在问题来了，甲到了该日的24点整的时候，肚子里还剩多少东西？

我们来慢慢分析一下，甲在6点吃了东西，吃了多少东西？$f(6)=8$f(6)=8
吃完后开始消化，到了24点过去了24-6个小时，六点吃的还剩多少？不就是吃的量与消化后剩下的相乘吗？
那剩下的多少不就是在g上取值吗？$f(6)g(24-6)$f(6)g(24−6)
同理，12点吃的东西和18点吃的东西到了24点分别剩下
$\begin{cases} f(12)g(24-12) \\ f(18)g(24-18) \end{cases}${f(12)g(24−12)f(18)g(24−18)​

那么到了24点，6点吃的东西会消失吗？不会。
所以每个都加起来，就是
$\sum_{t=6,12,18} f(t)g(24-t)$t=6,12,18∑​f(t)g(24−t)
诶诶诶，你看这个形式，是不是跟我们的卷积长得很像啊？
是咯，卷积就是这样。

那么我们来把问题深入一下，我想知道他一整天每个时间段，肚子里有多少东西，怎么办？
简单！
我们把这个公式$\sum_{t=6,12,18} f(t)g(24-t)$t=6,12,18∑​f(t)g(24−t)改一下不就好了吗？
公式里的24不是想要求的时间吗？那么把它改成一个自变量t不就好了，这个初中生都知道。
咦，那不就有两个 t 了吗？那好吧，我们再改一下，把原来的 t 改成$\tau$τ，初中生都知道，变量名只是一个代称罢了，怎么改都一样。

$\sum_{\tau} f(\tau)g(t-\tau)$τ∑​f(τ)g(t−τ)

不间断吃零食

那么我们再来假设，乙这个人，是个胖子，而且还是个很能吃的胖子，他一天24小时吃东西不间断，注意了，不间断的吃！
那么就是一个连续的函数，根据上面所算的，我们取一个无穷小量$d\tau$dτ,经过与上面相似的一系列操作，我们可以发现在t时刻肚子里的东西有这么多：
$\int f(\tau)g(t-\tau)d\tau$∫f(τ)g(t−τ)dτ

就这？哈哈哈兄弟们，就这，是不是跟卷积一毛一样？
对，这就是卷积。
因为这个公式比较常用，我们把它用一个符号*来表示两个函数之间的卷积。

信号中的卷积

根据上面的理解，我们可以很容易的理解信号到底是咋卷积的。
输入的信号就像吃进去的食物，而系统的单位冲激响应就像消化系统的函数。
t=0时输入一个信号值，过一段时间t，他变了，咋变的？随着系统变的。
此时输出的就是$f(0)g(t-0)$f(0)g(t−0)
当t=1时，继续输入，第一个输入的值继续变，没有动，而第二个值又出现了，他们只能相加，此时输出的就是$f(0)g(t-0)+f(1)g(t-1)$f(0)g(t−0)+f(1)g(t−1)
同理，一直输入，不断求和，连续输入，不停积分。
仅此而已。

本文仅写了如何理解卷积。如有不懂，可以回复一起讨论一下。