开关电源学习笔记7 --- DC-DC变换器的储能电感设计之磁芯及气隙

1.气隙的概念

首先来看看EE变压器的结构

制作变压器时，首先准备一个骨架

将电磁线缠绕上去

绝缘后插上EE磁芯，再固定住和加外壳

气隙：为了防止变压器磁饱和而对磁芯开出的空隙
（在下图中，两个E中间的那条缝隙即为气隙）

根据电磁学的知识，磁芯的磁场变化具有滞后性，即呈现出下图中分别的两条磁滞回线
由于$B = \mu × Ｈ$B=μ×Ｈ，开了气隙后，由于一部分磁芯的$\mu_r$μr​变成了$\mu_0$μ0​（空气中的磁导率），总磁导率$\mu$μ会变小，即斜率变小。
这就使得磁饱和时（B为最大/最小值）对应的磁场强度H更大，即电感电流更大（意味着电路升降压的性能越好）

一般来说，气隙的理想开口位置如下

2.磁芯的影响

由笔记4的公式
$N × A_{e} × \mu\Delta H = L × \Delta I$N×Ae​×μΔH=L×ΔI（电磁感应定律）
$H× L_{e} = N ×I$H×Le​=N×I（安培环路定律）
可求得，无气隙磁芯的电感量为

• $L = \frac{N^2\mu A_e}{l_e}$L=le​N2μAe​​         ①

此处引入三个常用概念

• 电感系数 $A_L = \frac{\mu A_e}{l_e}$AL​=le​μAe​​        ②
• 磁芯磁阻 $R_C = \frac{1}{A_L} = \frac{l_e}{\mu A_e}$RC​=AL​1​=μAe​le​​ ③
• 磁芯常数 $C_1 = \frac{l_e}{A_e}$C1​=Ae​le​​         ④

②代入①，得：$L = N^2A_L$L=N2AL​    ⑤
④代入②，得：$\mu = C_1A_L$μ=C1​AL​    ⑥

由式⑥可知，$A_L$AL​不变时$C_1$C1​增大，会导致$\mu$μ增大
而在电感的体积公式（笔记6）中可知，其它量不变时，$\mu$μ增大会导致电压体积增大。
所以应选用$C_1$C1​小一点的磁芯

由式⑤可知，确定好设计中的电感量L时，若减小$A_L$AL​，对应的匝数N就会变多，这将使得工艺难度增加而且线圈损耗增加。所以设计中$A_L$AL​应取大一些
但是由公式⑥可知，$A_L$AL​增大会导致$\mu$μ增大，即电感体积增大，这时可以通过减小$C_1$C1​来保持电感体积

3.气隙的计算

一般来说，机器制作时气隙长度可以较准确地开出，而手工磨磁芯就变得不可控了（难以测量），事实上，在开关电源的研发过程中，机器量产前都是靠手工磨磁芯。这时，就得依靠其它变量来推知所磨磁芯的气隙长度

当气隙长度$\delta$δ较大时，我们可近似认为气隙界面向外扩展了气隙长度$\delta$δ
假设是圆截面磁芯，气隙截面半径 = 磁芯截面半径 + $\delta$δ
假设是正方形截面磁芯，气隙截面边长= 磁芯截面边长 + $\delta$δ

气隙计算公式1

磁芯磁阻为
$R_m = R_C + R_\delta = \frac{l_e - \delta}{\mu_r\mu_0 A_e} + \frac{\delta}{\mu_0 A_\delta}$Rm​=RC​+Rδ​=μr​μ0​Ae​le​−δ​+μ0​Aδ​δ​

当 $R_\delta \gg R_C$Rδ​≫RC​，即$\mu_r$μr​或者$\delta$δ很大时，可忽略$R_C$RC​
代入式$L = \frac{N^2}{R_m}$L=Rm​N2​得：

$\delta \approx \mu_0A_\delta\frac{N^2}{L}$δ≈μ0​Aδ​LN2​

该公式用来估算出的气隙值精度很低，一般不使用

气隙计算公式2

当 $\delta \ll l_e$δ≪le​时
$L = \frac{N^2}{R_m} = \frac{N^2}{\frac{l_e - \delta}{\mu_r\mu_0 A_e} + \frac{\delta}{\mu_0 A_\delta}} = \frac{N^2}{\frac{l_e}{\mu_r\mu_0 A_e} + \frac{\delta}{\mu_0 A_\delta}} = \frac{N^2}{\frac{1}{A_L} + \frac{\delta}{\mu_0 A_\delta}}$L=Rm​N2​=μr​μ0​Ae​le​−δ​+μ0​Aδ​δ​N2​=μr​μ0​Ae​le​​+μ0​Aδ​δ​N2​=AL​1​+μ0​Aδ​δ​N2​

即：

$\delta = \mu_0A_\delta(\frac{N^2}{L} - \frac{1}{A_L})$δ=μ0​Aδ​(LN2​−AL​1​)

该式的计算精度最高

气隙计算公式3

当气隙长度 $\delta$δ 较小时（相比于横截面的半径/边长）
可近似认为$A_\delta = A_e$Aδ​=Ae​
即

$\delta = \mu_0A_e(\frac{N^2}{L} - \frac{1}{A_L})$δ=μ0​Ae​(LN2​−AL​1​)

实际使用中，其实不需要计算出电感系数 $A_L$AL​
在开始磨磁芯前（无气隙 $\delta_0 = 0$δ0​=0），先测出当前电感值 $L_0$L0​；磨完磁芯后，再测出电感值 $L$L
$\Delta\delta = \delta = \mu_0A_e(\frac{N^2}{L} - \frac{N^2}{L_0})$Δδ=δ=μ0​Ae​(LN2​−L0​N2​)