绝对不能错过！计算机视觉Polygon Mesh Processing读书笔记——4微分几何中的曲线

流形

3D模型必须为流形。通俗地说，如果一个网格模型中存在多个（3个或以上）面共一条边，那么它就是非流形的（non-manifold），因为这个局部区域由于自相交而无法摊开展平为一个平面了。请看如图所示这个4个面共享一条边的非流形例子：

球面为二维的流形，因为可由一群二维的平面图形来叠加表示 （图片来源：维基百科）。如图所示的地球球面就是一个2维流形。因此，对于球面上的一个曲面三角形（左图），可以摊开展成（即流动变形成）一个2维欧几里得空间上的平面三角形（右图）。此外，因为地球实在太大，我们往往把地球上的一块足够小的（曲面）局部区域当作平面来丈量，而不用担心会引起大的误差。比如，你要丈量学校操场的面积，根本不用把它认为是地球上的一块曲面，而直接看作一块平面即可。所以，光滑流形其足够小的结构是“硬”的（如可以固定丈量），而整体结构则是“柔软”的（可流动变形）。流形（Manifold）可看作是很多（Many）曲面片的叠加（Fold），比如整个地球的地图册就是由各个地区的地图页合订而成，而相邻地区的地图页之间含有重叠区域，以便建立彼此之间的联系，这样我们才能通过翻看一页一页的局部地图得出整张世界地图。

 DIFFERENTIAL GEOMETRY  

介绍了微分几何的一些基本概念，参考标准教科书，例如[do Carmo 76]，以进行证明和深入讨论。 微分几何采用微积分的方法来描述平滑曲线和曲面的局部属性。 在回顾平滑二维流形表面的基本微分几何概念之前，我们将以平面曲线开始讨论，以提供一些几何直觉。 本章的其余部分将涉及多边形表面的扩展。 特别是，我们将介绍离散曲率量度，并给出LaplaceBeltrami算子对三角网格的标准离散逼近。

曲线的微分几何与曲线的特性有关，该特性与特定的参数化（例如长度或曲率）无关。

我们考虑平滑的平面曲线，即嵌入在中的可微分流形。 这样的曲线可以用矢量值函数x表示为参数形式，其中u∈[a，b]，。 假设坐标x和y是u的可微函数。 将曲线在点x（u）处的切向量定义为坐标函数的一阶导数，即。

例如，在点力学中，点的轨迹是由时间（u = t）参数化的曲线，并且切向量对应于时间t处的速度向量。

我们假设参数化是规则的，因此对于所有u∈[a，b]，。 可以将x（u）处的法向向量n（u）计算为，其中⊥表示旋转90°。