长除法计算公式法

1 引言

长除法是一种很常用的计算方法，适用于整式除法、小数除法、多项式除法（即因式分解）等较重视计算过程和商数的除法，过程中兼用了乘法和减法。在很多工程问题（如离散系统的Z逆变换）都需要使用到长除法，但是传统长除法计算方法在运算过程中需要十分谨慎的运算过程，因为每一步运算都基于前一步运算的结果，所以很容易导致“一步错步步错”的结果。因此为了解决长除法在运算过程中的这种问题，总结出了公式化的运算规律，大大减少了长除法计算的运算量和错误率，而且更加容易在程序上实现。

2 传统长除法的计算

以计算： x3-12x2-42x-3  为例:

首先把被除式、除式按某个字母作降幂排列，缺项补零，写成以下形式:

                                                                                                                                     （2.1）

然后商和余数可以这样计算:

1.用分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为），得到首商，写在横线之上（）。

 

2.将分母乘以首商，乘积写在分子前两项之下( ）, 同类项对齐。

3.从分子的相应项中减去刚得到的乘积（消去相等项，把不相等的项结合起来），得到第一余式，写在下面。然后，将分子的下一项“拿下来”。

4.把第一余式当作新的被除式，重复前三步，得到次商与第二余式（直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式 ）。

5. 重复第四步，得到三商与第三余式。余式小于除式次数，运算结束。横线之上的多项式即为商，而剩下的 (-123) 就是余数。

注意：在不同的使用情况，有些结果需要对余数继续计算，得到有的项。其中，算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形，即所有被替换为10的情形。计算过程如（图一）所示：

显然，以上的计算方法太过于繁杂，接下来我们来推导长除法快速计算方法。

3 长除法计算公式法的推导

为了得到一般化的规律，我们先对公式的系数进行一般化处理,并把分母的最高次项的系数变成1 ，得到：

                                                                                                                                                  （3.1）

接下来进行计算：

 

整理后的计算结果是：

观察上式可以看出：

1) 商的最高次（降幂排列第一项）的系数：a = det；

 

2) 商的第二项的系数：b = -det；

3) 商的第三项的系数：c = det；

4) 商的第四项的系数：d = -det；

5) 商的第五项的系数：e = det；

6）商的第六项的系数：……

把式（2.1）的具体参数:

a0	a1	a2	b0
1	-12	-42	-3

 

带入矩阵中；

计算得到：a=1, b=-9, c=-27, d=-123, e=-369；显然与上述使用传统计算方法结果一致。

接下来用matlab进行验证，代码和计算结果如下：

 

因此可得出一般规律(结论)：

定理 设某个分式的分子参数为[，，, , , ]，分母的参数为[1，，, , ]；

     分式为：                                                                                               （3.3）

 

由分式的各项系数组成的矩阵如下【式（3.4）】所示：

                                                                                                    （3.4）

结果的最高项次数为：，按降幂排列的各项系数分别为：

此矩阵【式（3.4）】的n阶顺序主子式的行列式*（-1）^(n-1) (其中n=1，2，3,……)。