笛卡尔积简单介绍

简介

这个博客参考左孝陵先生的《离散数学》，会尽量简单的讲讲笛卡尔积，能够给大家一个更加具体的认识。

什么是序偶

要知道什么是序偶，先得弄明白序偶的作用，我觉得序偶就是带顺序的集合，用来表示一些集合表示不了的东西。比如在小学学的直角坐标系上，有两个点，(2,3)和(3,2)，点的坐标就是序偶，因为它自带顺序，为什么每次一个点都先读x坐标再读y坐标？是因为规定了顺序，才能表示更多的点。坐标系如果用集合来表示坐标，那{2，3}，{3，2}就是同一个点了。

再举一个例子吧，老师对同学们说报出你们的身高体重，你有一米八，体重190斤。你如果说“190，180”老师会认为你是一米九，体重180斤，因为老师问的时候带了一个顺序，问的是序偶，身高到体重，如果你按体重到身高报，就完全错了

什么是笛卡尔积

令A和B是任意两个集合，若序偶的第一个成员是A的元素，第二个成员是B的元素，所有这样的序偶集合，称为集合A和B的笛卡尔乘积或直积，记做A X B

如果觉得定义太抽象，也没有关系，让我们继续之前老师记身高体重的例子，再没有你这种反着来报体重身高的人后，老师很快就得到了全班同学的身高体重表格，

身高	体重
170	140
180	190
190	180
……	……

看看这个表来源于什么，来源于全班同学的身高的集合A，体重的集合B。那么，全班同学的体重身高就可以表示为A X B，全班同学的体重身高就可以表示为B X A

更加严谨的表达方式

假设身高集合为A={a1,a2,a3,a4……an}，体重集合为B = {b1,b2,b3,b4,b5……}，那么A X B = {<a1,b1>, <a1,b2> ,<a1, b3>,……<a1,bn>,<a2,b1>,<a2,b2>……<an,bn> }

具体特征是a永远在前面，b永远在后面，因为是A X B，一共有n X n 个元素，因为A,B数组的元素个数为n,n

笛卡尔积与函数的联动

有这样一个函数，定义域为x，值域为1，那么这个函数可以表示为 R X 1的子集，能不能画出这个题的图像呢？

其实我根据定义域和值域就用y = 1来画这个题的图像是不严谨的，应该说，这题是运气好才能画出图像，但是不可能确定表达式，因为决定函数的是定义域和对应关系。比如这题的函数可以是

但我想表达的是，函数的图像，不可能超过它定义域和值域的笛卡尔积，而是被包含在笛卡尔积的图像之中，我能准确的画出这个题的图像，是因为R X 1这个笛卡尔积，结果是一条直线，导致函数图像的可能性降低，所以能画出图像。

如果我告诉你定义域为[-3,3]，值域为[-3,3]，是肯定画不出图像，确定不了函数的，但是我可以肯定的是，函数的图像一定在[-3,3] X [-3,3]的正方形图像当中

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