一、DCT 系数的 AC 系数和 Benford 定律的相关联系

① Benford 定律

如果一组 自然增长 的数据满足 Benford 定律，那么其 最高位上 的数字出现的概率 p(x) 遵循一定的分布，用公式表达如下：
　　

这里，x 是数字 1，2，3⋯⋯9，p(x) 是数字 x 首位出现的概率。
　　通过这个公式的计算，数字的第一位上出现的数字为 “1” 的概率大约为 30％，而出现 “9” 的概率仅为 4.6％。把 1，2，3⋯⋯9 分别代入上述公式，所得的结果如下：

② DCT 变换

使用下面的计算公式计算 DCT 变换：

其中

　　经过 DCT 变换之后，所求得矩阵中的 F(0，0) 即为 直流系数 (DC 系数，即 64 个空域图像采样值的平均值)，其它均为 交流系数 (AC 系数)。
　　AC 系数即为图像的像素值经过 DCT 变换后得到的 DCT 系数中除去 (0，0) 位置的系数。
　　通常用 质量因子 Q 来表示 JPEG 图像的质量好坏。Q 是一个整数，大小范围为 10 到 100，其中 10 表示图像的压缩质量最差，100 表示图像的压缩质量最好。如果量化步长取得较大，则压缩比越高，压缩后的图像大小越小，Q 也越小，重建的原始图像质量较差；反之，量化步长取得较小，压缩比越低，则压缩后得到的图像大小越大，同时 Q 也就越大，重建的原始图像质量较好。

二、JPEG 系数的 AC 系数和 Benford 定律的相关联系

① JPEG 系数

在 JPEG 编码的过程中，首先将图像分成 8×8 的图像块，然后对每个图像块进行 DCT 变换，得到 DCT 块，以后对每一个 DCT 块要经过量化得到量化块，这个量化块是通过用相应的 量化表 去 除 DCT块而得到的。于是，经过量化后得到的 DCT 系数，叫做 JPEG 系数。

② 广义 Benford 定律模型

其中，N 为归一化因子，q 为衰减系数，s 为模型中控制不同质量因子下的 JPEG 系数的 AC 系数的首位分布的相关参数。

　　将载密图像 JPEG 系数的 AC 系数的首位数字概率分布和广义 Benford 定律的曲线进行对比，并将得到的载密图像的 JPEG 系数的 AC 系数的 1，2，3⋯⋯9 每一个首位数字的概率分布值和求得的首位数字的概率百分比值进行 求差 的运算，从而找出二者统计特性上的差异，然后就可以根据此差异的大小判断出该载密图像隐写性能的鲁棒性。