傅里叶变换（Part II）

本系列主要介绍傅里叶变换和离散傅里叶变换的概念及理解，文本为该系列第二篇

卷积

相关与卷积操作的区别是卷积需要先将filter旋转 $180^{\circ}$ ， $w(x,y)$ 和 $f(x,y)$ 的卷积表示为 $w(x,y)\otimes f(x,y)=\Sigma_{s=-a}^a\Sigma_{t=-b}^bw(s,t)f(x-s, y-t)$ ，卷积由 $\otimes$ 表示，这边的减号起到把filter旋转 $180^{\circ}$ 的作用，以 $w$ 是 $\left[\begin{matrix}1,2,3 \\ 4,5,6 \\ 7,8,9 \end{matrix} \right]$ ， $f$ 是 $\left[\begin{matrix}1,2,3, \dots \\ 4,5,6,\dots \\ 7,8,9,\dots \\ \dots \end{matrix} \right]$ 为例， $w$ 的1与 $f$ 里面的9对应， $w$ 的2与 $f$ 里面的8对应等

对于一维的连续情况，两个连续函数 $f(t)$ 与 $h(t)$ 卷积为 $f(t)\otimes h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)h(t-\tau)d\tau$

该卷积的傅里叶变换 $\xi \{f(t)\otimes h(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty}[\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)h(t-\tau)d\tau]e^{-j2\pi \mu t}dt = \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)[\int_{-\infty}^{\infty}h(t-\tau)e^{-j2\pi \mu t}dt]d\tau = \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)[\int_{-\infty}^{\infty}h(t-\tau)e^{-j2\pi \mu (t-\tau)}e^{-j2\pi \mu \tau}d(t-\tau)]d\tau = \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)H(\mu)e^{-j2\pi \mu \tau}d\tau =H(\mu)F(\mu)$

所以我们可以发现，空间域两个函数的卷积的傅里叶变换等于两个函数的傅里叶变换在频率域的乘积

取样

在计算机处理之前，连续函数必须转换为离散值序列，考虑一个连续函数 $f(t)$ ，我们希望以独立变量 $t$ 的均匀间隔 $\Delta T$ 为间隔采样，取样后函数为（借助之前介绍的冲激串） $\widetilde{f}(t) = f(t)s_{\Delta T}(t)=\Sigma_{n=-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-n\Delta T)$ ，序列中的任何取样值为 $f_k = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-k\Delta T)dt = f(k\Delta T),\ k=\dots, -2,-1,0,1,2,\dots$

这样，取样后函数的傅里叶变换为（借助于之前的卷积定理） $\widetilde{F}(\mu) = F(\mu)S(\mu)$ ，冲激串的傅里叶变换还是冲激串，最后整理得到 $\widetilde{F}(\mu) = \frac{1}{\Delta T}\Sigma_{n=-\infty}^{\infty}F(\mu-\frac{n}{\Delta T})$ ，每一个 $F(\mu - \frac{n}{\Delta T})$ 可以理解为是由 $F(\mu)$ 平移得到的。

傅里叶变换（Part II）
如果 $f(t)$ 是带限函数（对于以原点为中心的有限区间 $[-\mu_{max}, \mu_{max}]$ 之外的频率值，其傅里叶变换为0的函数），我们可以发现 $\widetilde{F}(\mu)$ 是周期为 $\frac{1}{\Delta T}$ 的函数， $\frac{1}{\Delta T}$ 越大，即采样周期越短，周期之间会出现明显的间隔，如上图 $(b)$ ； $\frac{1}{\Delta T}$ 越小，即采样周期越长，周期之间就会出现交集，如上图 $(c)$

如果能够从 $\widetilde F(\mu)$ 中分离得到 $F(\mu)$ ，我们就可以得到 $f(t)$ ，进一步引出取样定理，如果以超过最高频率两倍的取样率来获得样本，即 $\frac{1}{\Delta T} > 2\mu_{max}$ ，连续的带限函数就可以从它的采样中进行恢复

参考资料：《数字图像处理》第三版

傅里叶变换（Part II）

相关推荐