对称和反对称矩阵

特征值分解

如果 $A$ 是一个实对称矩阵，那么 $A$ 可以分解为 $A = U D U^{T}$ ，其中 $U$ 是正交矩阵， $D$ 是实对角矩阵，因此一个实对称矩阵有实特征值，其特征向量两两正交

实对称矩阵的其他性质：
对称和反对称矩阵
可通过Jacobi方法求实对称矩阵的特征值和特征向量

叉乘

a = (a_{1}, a_{2}, a_{3})^{T}, [a]_{\times} = [\begin{matrix} 0 & - a_{3} & a_{2} \\ a_{3} & 0 & - a_{1} \\ - a_{2} & a_{1} & 0 \end{matrix}]

a \times b = [a]_{\times} b

余因子和伴随矩阵

令 $M$ 是一个方阵，用 $M^{*}$ 表示 $M$ 的余因子矩阵，则 $M_{i j}^{*} = (- 1)^{i + j} d e t {\hat{M}}_{i j}$ ，其中 ${\hat{M}}_{i j}$ 是把 $M$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 列所得到的矩阵。余因子矩阵 $M^{*}$ 的转置称为 $M$ 的伴随矩阵，记为 $a d j (M)$ 。
有

M a d j (M) = a d j (M) M = d e t (M) I

正定对称矩阵

对称矩阵 $A$ 正定 $⟺ x^{T} A x > 0$ 恒成立
正定对称矩阵 $A$ 可以唯一地分解为 $A = K K^{T}$ ， $K$ 是对角元素全为正的上三角实矩阵

对称和反对称矩阵

特征值分解

叉乘

余因子和伴随矩阵

正定对称矩阵

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