“近朱者赤，近墨者黑”的分类算法——k最近邻算法

k最近邻算法是一种经典的机器学习分类算法，最早由Cover T和Hart P于1967年提出。对原论文感兴趣的读者可下载此论文Nearest neighbor pattern classification。

算法概念

k最近邻，英文名为k-Nearest Neighbor，简称为kNN，是一种极其简单的机器学习分类算法，甚至可能是最简单的分类算法。其中，k表示样本的邻居数。k最近邻算法思想可以形象地归纳为一句话，“少数服从多数”。它没有训练过程，是“懒惰学习”的著名代表。所谓“懒惰学习”，就是在模型的训练阶段只是记录了训练样本，省略了显式的训练过程，待收到测试样本（待分类样本）时直接对其进行分类的学习方法的统称。对“懒惰学习”感兴趣的读者可参考文献Lazy learning。

算法思想

上图中有三种点，其中绿色方块与红色三角已知其类别，分别为1与-1，蓝色圆点类别未知。根据“少数服从多数”的分类原则，如果k=3，则蓝色圆点的邻居有1个绿色方块和2个红色三角，因此蓝色圆点类别被确定为-1；如果k=5，则蓝色圆点的邻居有3个绿色方块和2个红色三角，因此蓝色圆点类别被确定为1。

算法过程

从上述的简述中，不难看出，k最近邻分类算法的核心就是k的选择与如何寻找样本的邻居。k的选择视情况而定，一般在3~20之间，在此不再赘述。而寻找样本的邻居实际上就是寻找与样本相似的样本。样本在空间中可被表示为一个点，而样本间的相似性，可以通过计算样本间的“距离”进行表示。距离与相似性成反相关关系。因此，寻找样本的邻居的流程如下：

1. 选取某一相似性度量函数，如欧几里得距离，曼哈顿距离等；

2. 根据选定的相似性度量函数计算待分类样本与其他样本之间的距离；

3. 计算完毕后，按照距离的大小进行排序（升序），选取前k个样本，即为该样本的邻居。

常用相似性度量函数

从上述关于k最近邻算法思想的简述中不难看出，相似性度量函数是至关重要的。以下列举了几种常用相似性度量函数。

• 欧几里得距离
  

  d(x,y)=∑k=1n(xk−yk)2−−−−−−−−−−−√$$d(x,y)=\sqrt{\sum _{k=1}^n(x_k-y_k{)}^2}$$
  
  其中，n是x和y的维度，xk$x_k$和yk$y_k$分别是x和y上第k个分量的值。

• 曼哈顿距离
  

  d(x,y)=∑k=1n|xk−yk|$$d(x,y)=\sum _{k=1}^n|x_k-y_k|$$
  
  其中，n是x和y的维度，xk$x_k$和yk$y_k$分别是x和y上第k个分量的值。

• 闵可夫斯基距离
  

  d(x,y)=(∑k=1n|xk−yk|r−−−−−−−−−−−√)1r$$d(x,y)=(\sqrt{\sum _{k=1}^n|x_k-y_k{|}^r}{)}^{\frac{1}{r}}$$
  
  其中，n是x和y的维度，xk$x_k$和yk$y_k$分别是x和y上第k个分量的值。，r是参数。注意，n与r不同，n是向量的维度，r是空间的维度。此外，细心的读者可能已经发现，当r=1时，闵可夫斯基距离距离即为曼哈顿距离；当r=2时，闵可夫斯基距离距离即为欧几里得距离。

算法优缺点

俗话说得好，人无完人，而算法本身也有各自的优缺点。至于k最近邻算法，则其优缺点如下：
1. 优点
* k最近邻思想简单易懂，实现难度低，无需训练。

1. 缺点
   
   • 在分类时，k最近邻必须计算待分类样本与全体样本的距离，计算量大，需要消耗很长的时间。
   • 当样本不平衡时，k最近邻的分类结果会偏向于样本数量多的类别。