机器学习经典算法笔记——PCA和梯度上升算法

首先，什么是PCA ？

principal Component Analysis
一个非监督的机器学习算法，主要用于数据的降维，通过降维，可以发现更便于人类理解的特征
通常应用于可视化，去噪

下面举个例子：

给这么一组数据，怎么把二维降到一维？

我们通常可以选择，向X轴或者Y轴投影，但是还是不够好，向X轴投会忽略Y轴方向的影响，反之，会忽略X轴方向，所以，我们提出一种更好的方案来解决这个问题。


找出一条线，投射到这条线上来解决这个问题，同时能够兼顾到X，Y轴方向，找到让样本间距最大的轴。

那如何定义样本间间距？ 答案是方差。

第一步：将样例的均值归零（demean) 怎么归零？

我们通过变化坐标轴，使得均值为零，但是实际上点的相对位置没什么变化，方差公式也发生了变化（如上所示）

目标：求w，使得 $f(x) = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m (X_1^iw_1 + X_2^iw_2 + .....+ X_n^iw_n)^2$f(x)=m1​∑i=1m​(X1i​w1​+X2i​w2​+.....+Xni​wn​)2 最大，这个是上面的方差求解公

式，因为均值为0了，所以 $Var(x) = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m (x_i - \overline{x})^2 = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^mx_i^2$Var(x)=m1​∑i=1m​(xi​−x)2=m1​∑i=1m​xi2​，