IIR数字滤波器的设计

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冲激响应不变法

• 冲激响应不变法：就是用其单位冲激响应序列模仿模拟滤波器的单位冲激响应的抽样值

• 设计的具体步骤及方法

  ​ 首先要设计一个响应的模拟滤波器。
  ​ 模拟滤波器的单位冲激响应非周期 $\Rightarrow$⇒ 频率离散（- $\infty$∞-+$\infty$∞ ),频谱范围可能大于折叠频率，即奈奎斯特频率 $\Rightarrow$⇒ 取样，频率周期延拓 $\Rightarrow$⇒ 频谱可能产生混叠。
  ​ 数字域中极点在单位圆内$\Leftrightarrow$⇔模拟域中极点在左半平面。
  可以通过提高抽样频率来减少混叠，但设计指标若以数字域频率给定时，不能通过提高抽样频率改善混叠现象。因为$\Omega=\frac{\omega}{T}$Ω=Tω​ ，$\omega$ω是数字域频率，$\Omega$Ω是模拟域频率，增大抽样频率$\Rightarrow$⇒减小采样周期$\Rightarrow$⇒增大截止频率。

  ​ 模拟域 ：H_a(s) = $\sum_{k=1}^N \frac{A_k}{s-s_k}$∑k=1N​s−sk​Ak​​ 数字域：H(z) = $\sum_{k=1}^N \frac{A_k}{1-e^{s_kT}z^{-1}}$∑k=1N​1−esk​Tz−1Ak​​
  ​ s平面：s=s_k z平面：z=$e^{s_kT}$esk​T 两者系数相同
  ​ 当采样周期很小时，数字滤波器增益很大，容易溢出，可以修正，令h(n)=T$h_a(nT)$ha​(nT)，因为H(e^jw)=$\frac{1}{T}H_a(j\frac{\omega}{T})$T1​Ha​(jTω​)
  ​ 该方法对应的MATLAB程序：[BZ, AZ] = impinvar(B,A,Fs),其中BZ，AZ为数字滤波器单位冲击响应的分子和分母系数；B，A为模拟滤波器的分子和分母的系数，Fs为抽样频率。

• 优点

  • 时域逼近良好
  • 保持线性关系：$\omega$ω=$\Omega$ΩT

• 缺点

  • 频率响应混叠，只适用低通、带通滤波器。

阶跃响应不变法

• 变换原理：数字滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应，即g(n)=g_a(t)|_t=nt=g_a(nT).
• g(n)=u(n)*h(n)$\rightarrow$→ G(z)=$\frac{z}{z-1}H(z)$z−1z​H(z) ,g_a(t)=u(t)*h_a(t)$\rightarrow$→G_a(s)=$\frac{1}{s}H_a(s)$s1​Ha​(s)
  变换步骤：
  $H_a(s)\rightarrow G_a(s)\rightarrow g_a(t)\rightarrow g(n)\rightarrow G(z)\rightarrow H(z)$Ha​(s)→Ga​(s)→ga​(t)→g(n)→G(z)→H(z)
• 优缺点同冲激响应不变法

双线性不变法

• 为什么需要双线性变换法？–避免频谱混叠

​ 在推导过程中有一个中间域，最终的关系式为z=$\frac{1+s}{1-s}$1−s1+s​ ,为了使模拟滤波器与数字滤波器的某一频率有对应关系，引入一个常数c，则有s=c$\frac{1-\frac{1}{z}}{1+\frac{1}{z}}$1+z1​1−z1​​ ,即z=$\frac{c+s}{c-s}$c−sc+s​。若低频处有确切的对应关系应为c=$\frac{2}{T}$T2​ 。
​ s平面虚轴与z平面单位圆的对应关系$\Omega$Ω =ctan$\frac{w}{2}$2w​ $\Omega$Ω 为s域,w为数字域

• 优点：无频率混叠，避免了多值映射。

• 缺点：除零频率附近，严重非线性关系，在临界频率点（通带截止频率和阻带截止频率–这个是技术指标)产生畸变。

• 解决临界频率点的畸变–预畸变
  $\Omega$Ω =c$\tan\frac{w}{2}$tan2w​ ，在临界频率点根据w去设计$\Omega$Ω ,再去设计模拟滤波器，再用双线性变换法设计数字滤波器

• 该方法对应的MATLAB方法：[BZ, AZ] = bilinear(B,A,Fs)

常用模拟滤波器设计

• 由幅度平方函数确定模拟滤波器的系统函数
  $|H_a(j\Omega)|^2=H_a(j\Omega)H_a^*(j\Omega)=H_a(j\Omega)H_a(-j\Omega)=H_a(s)H_a(-s)|_{(s=j\Omega)}$∣Ha​(jΩ)∣2=Ha​(jΩ)Ha∗​(jΩ)=Ha​(jΩ)Ha​(−jΩ)=Ha​(s)Ha​(−s)∣(s=jΩ)​ ,$H_a(j\Omega)$Ha​(jΩ)可以看做模拟滤波器单位冲激响应的傅里叶变化。
  $H_a(s)$Ha​(s)和$H_a(-s)$Ha​(−s)的零极点对称，成对出现，且其零极点分别分布在左半平面（只有分布在左半平面系统才是稳定的）和右半平面。

• Butterworth低通逼近
  幅度平方函数为$|H_a(j\Omega)|^2 = \frac{1}{1+(\frac{\Omega}{\Omega_c})^{2N}}$∣Ha​(jΩ)∣2=1+(Ωc​Ω​)2N1​ ,其中N为滤波器阶数，$\Omega_c$Ωc​为3dB截止频率，因为$\Omega=\Omega_c$Ω=Ωc​时，幅度为原来的$\frac{1}{\sqrt{2}}$2​1​，

  

  巴特沃斯幅度特性及其与N的关系

• • 极点分布

  $|H_a(j\Omega)|_{\Omega=\frac{s}{j}}^2 = H_a(s)H_a(-s) = \frac{1}{1+(\frac{s}{j\Omega})^{2N}}$∣Ha​(jΩ)∣Ω=js​2​=Ha​(s)Ha​(−s)=1+(jΩs​)2N1​ ，令$1+(\frac{s}{j\Omega})^{2N}=0$1+(jΩs​)2N=0即可解得极点分布。

极点在s平面呈象限对称，个数为2N，极点间角度间隔为$\frac{\pi}{N}$Nπ​，极点不落在虚轴上，若N为奇数，实轴上有极点；若为偶数，实轴上无极点。

• 滤波器的系统函数

$H_a(s)=\frac{\Omega_c^N}{\prod_{k=1}^N(s-s_k)}$Ha​(s)=∏k=1N​(s−sk​)ΩcN​​，s_k为左半平面的极点。若令$\Omega_c=1rad/s$Ωc​=1rad/s,得到的各个阶次的系统函数为归一化的系统函数$H_{an}(s)$Han​(s)，其与原系统函数之间的关系为$H_a(s)=H_{an}(s)|_{s=\frac{s}{\Omega_c}}$Ha​(s)=Han​(s)∣s=Ωc​s​​。