数字滤波器(五)--设计IIR滤波器

引

数字滤波器(一)–IIR与FIR的基本结构与MATLAB实现
数字滤波器(二)–最小相位延时系统和全通系统
数字滤波器(三)–模拟滤波器的设计
数字滤波器(四)–模拟滤波器转化为数字滤波器

前言

IIR滤波器的设计步骤主要由下图所示的三个大步骤组成。首先我们要设计出模拟原型滤波器，然后将滤波器数字化为相应的数字低通滤波器，然后在记性数字域的转换称为我们希望得到的选频滤波器（低通、高通、带通、带阻）。

我们已经实现了模拟滤波器的设计，模拟滤波器的数字化，本节要做的就是IIR滤波器设计的最后一个步骤，数字选频滤波器。

1. 数字低通转数字低通

设$\theta_c$θc​为给定的数字低通滤波器的截止频率，$w_c$wc​为希望得到的低通滤波器的截止频率，也就是我们要用$\theta_c$θc​去映射$w_c$wc​，如下图所示：

数字低通到数字低通的映射关系为：

将$\theta_c$θc​和$w_c$wc​带入上式可以得到：

上式可以解得：

下面通过一个例子来说明一下如何进行转换：

2. 数字低通转数字高通

设$\theta_c$θc​为给定的数字低通滤波器的截止频率，$w_c$wc​为希望得到的高通滤波器的截止频率，也就是我们要用$\theta_c$θc​去映射$w_c$wc​，如下图所示：

数字低通到数字高通的映射关系为：

将$\theta_c$θc​和$w_c$wc​带入上式可以得到：

上式可以解得：

3. 数字低通转数字带通

设$\theta_c$θc​为给定的数字低通滤波器的截止频率，$w_1$w1​，$w_2$w2​为希望得到的带通滤波器的上、下截止频率，也就是我们要用$\theta_c$θc​去映射$w_c$wc​，如下图所示：

数字低通到数字带通的映射关系为：

将$\theta_c$θc​和$w_1$w1​，$w_2$w2​带入上式可以解得：

其中：

4. 数字低通转数字带阻

设$\theta_c$θc​为给定的数字低通滤波器的截止频率，$w_1$w1​，$w_2$w2​为希望得到的带阻滤波器的上、下截止频率，也就是我们要用$\theta_c$θc​去映射$w_c$wc​，如下图所示：

数字低通到数字带阻的映射关系为：

将$\theta_c$θc​和$w_1$w1​，$w_2$w2​带入上式可以解得：

其中

5. 设计IIR滤波器的步骤

结合前几篇博客，设计IIR滤波器的步骤可以由下图表示为：