教程|深度学习与神经网络相关更多导数的例子

在这一讲中，我将给出一个更加复杂的例子，在这些不同的例子中，函数在不同点出的斜率是不一样的。

先来举一个例子：

我在这里画一个函数f（a）=a的平方，在a=2的点上，a的平方等于4。让我们稍稍往右推进一点点，现在a=2.001，而f（a）即a的平方，约为4.004。但是。如果使用计算机算的话，这个准确的值应该为4.004001。为了简便起见，省略了后面的部分。

这里想表达的是，当a=2时，f（a）=4。

如图所示：这里x轴和y轴的比例，还是不太准确，实际上这个点的高度，要比这里纵轴的x值还要打一点点。X轴和y轴不成比例。

如果让a=2.001,则f（a）约为4.004.如果你在这儿画，一个小三角形，你就会发现如果把a往右移动0.001，那么f（a）将增加四倍，即增大0.004.

在微积分中，我们把这个，此三角形斜边的斜率f（a）在点a=2处的导数等于4。

或者写成微积分的形式。当a=2时，d/daf(a)=4,由此可知，函数f（a）=a^2，a取不同值的时候，它的斜率是不同的，这和上一讲的例子不一样。

如果a=5，不再等于2，a的平方等于25，这是f（a）的值。如果再一次把a往右移一点点，让a=5.001，而f（a）的值大约为25.010.

当我们往右移动了0.001时，f（a）却增大了10倍，即可以写作d/daf（a）=10，此时a的值为5，这里只是小小地移动了a，f（a）的值增大了10倍，有种直观的方法可以解释，为什么一个点的斜率，在不同位置会不同。

如果你在曲线上的不同位置画一些小小的三角形，你会发现，三角形高和宽的比值，在曲线上不同的地方，它们是不同的。

所以，当a=2时，斜率为4，而当a=5时，这里的斜率为10。

如果你翻看微积分的课本，课本会告诉你：d/daf(a)这里f(a)等于a的平方。

函数f（a）=a^2的斜率，应该等于2a，这里不证明这个公式，但你打开微积分的课本，找到上面的公式表，它会告诉你f（a）=a^2的导数，确实为2a。

事实上，这也和我们，手工算的结果一样。当a=2时，函数的斜率为2乘以2，即等于4.

当a=5时，函数的斜率为2乘以a，即2乘以5等于10。

如果你翻看微积分课本，你会看到这个公式，即a的平方的导数，等于2a，这意味着任意给定一点a，如果你稍微将a增大0.001,那么你会看到f（a）将增大2a，即增大的值为点在a处斜率或导数，乘以你向右移动的距离。

现在有个细节需要注意，之前我在这里，使用了一些不精确的值，这里的值不应该为4.04，你知道这里，应该还有而外001。

原因是我们把a向右移动了0.001,然后，如果我们把a向右移动，像这样一个非常非常小的值，那么这个额外的项，将可能被忽略。

这样你会发现f（a）增大的值，刚好等于导数乘以你向右边移动的距离。

至于为什么不是刚好等于4.004,是因为导数就是根据，这个无穷小值来定义的，而这里的0.001虽然比较小，但是他还不足以小到可以被忽略，这就是为什么导数增大的值，不是恰好等于公式算出来的值，而是根据倒数算出来的。

我们再来看几个例子，之前你已经知道的是，f（a）=a^2