B-树，B+树，红黑树的简单介绍

B+树

• 介绍：
  • B+树是基于B-树的一种变体，它有着比B-树更高的查询性能。
• 一个m阶的B+树具有如下几个特征：
  • 有k个子树的中间节点包含有k个元素（B树中是k-1个元素），每个元素不保存数据，只用来索引，所有数据都保存在叶子节点。
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  • 所有的叶子结点中包含了全部元素的信息，及指向含这些元素记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大顺序链接。
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  • 所有的中间节点元素都同时存在于子节点，在子节点元素中是最大（或最小）元素。
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• B+树的优势：
  • 单一节点存储更多的元素，使得查询的IO次数更少。
    • 如果是B-树的话，查到6,8之后还要返回根结点，查找它的右子树，找到9,11
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  • 所有查询都要查找到叶子节点，查询性能稳定。
  • 所有叶子节点形成有序链表，便于范围查询。

B-树：磁盘的IO次数由B-树的高度决定

• 介绍：
  • 是一种自平衡的树，能够保持数据有序。这种数据结构能够让查找数据、顺序访问、插入数据及删除的动作，都在对数时间内完成。
  • B树，概括来说是一个一般化的二叉查找树（binary search tree），可以拥有多于2个子节点。与自平衡二叉查找树不同，B树为系统大块数据的读写操作做了优化。
  • B树减少定位记录时所经历的中间过程，从而加快存取速度。B树这种数据结构可以用来描述外部存储。这种数据结构常被应用在数据库和文件系统的实现上。
     
• 一个m阶的B-树具有如下几个特征：
  • 根结点至少有两个子女。
  • 每个中间节点都包含k-1个元素和k个孩子，其中 m/2 <= k <= m
  • 每一个叶子节点都包含k-1个元素，其中 m/2 <= k <= m
  • 所有的叶子结点都位于同一层。
  • 每个节点中的元素从小到大排列，节点当中k-1个元素正好是k个孩子包含的元素的值域分划。
  • 三阶为例：
• 插入操作：自平衡
  • 自顶向下查找4的节点位置，发现4应当插入到节点元素3，5之间。
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  • 节点3，5已经是两元素节点，无法再增加。父亲节点 2， 6 也是两元素节点，也无法再增加。根节点9是单元素节点，可以升级为两元素节点。于是拆分节点3，5与节点2，6，让根节点9升级为两元素节点4，9。节点6独立为根节点的第二个孩子。
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• 删除操作：
  • 自顶向下查找元素11的节点位置。
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  • 删除11后，节点12只有一个孩子，不符合B树规范。因此找出12,13,15三个节点的中位数13，取代节点12，而节点12自身下移成为第一个孩子。（这个过程称为左旋）

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红黑树

• 先说说二叉查找树（BST）：
  • 左子树上所有结点的值均小于或等于它的根结点的值。
  • 右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值。
  • 左、右子树也分别为二叉排序树。
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• 但是二叉查找树（BST）也有缺陷：
  • 假设初始的二叉查找树只有三个节点，根节点值为9，左孩子值为8，右孩子值为12：
  • ‘
  • 接下来我们依次插入如下五个节点：7,6,5,4,3。依照二叉查找树的特性，结果会变成什么样呢？
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  • 
• 如何解决：
  • 使用红黑树解决二叉查找树多次插入新节点导致的不平衡。
• 红黑树定义：
  • 红黑树是一种自平衡的二叉查找树。
• 红黑树除了符合二叉查找树的基本特性外，还具有下列附加特性：
  • 每个节点要么是红色，要么是黑色。
  • 根节点必须是黑色
  • 每个叶子节点都是黑色的空节点（NIL节点）。
  • 每个红色节点的两个子节点都是黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)
  • 从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点。
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• 什么情况下会破坏红黑树的规则，什么情况下不会破坏规则呢？我们举两个简单的例子：
  • 向原红黑树插入值为14的新节点：
  • 
  • 向原红黑树插入值为21的新节点：
  • 
  • 由于父节点22是红色节点，因此这种情况打破了红黑树的规则4（每个红色节点的两个子节点都是黑色），必须进行调整，使之重新符合红黑树的规则。
  • 调整：有两种方法【变色】和【旋转】，旋转又分为：【左旋转】【右旋转】

• 变色：

  • 为了重新符合红黑树的规则，尝试把红色节点变为黑色，或者把黑色节点变为红色。

    下图所表示的是红黑树的一部分，需要注意节点25并非根节点。因为节点21和节点22连续出现了红色，不符合规则4，所以把节点22从红色变成黑色：

    

    但这样并不算完，因为凭空多出的黑色节点打破了规则5，所以发生连锁反应，需要继续把节点25从黑色变成红色：

    

    此时仍然没有结束，因为节点25和节点27又形成了两个连续的红色节点，需要继续把节点27从红色变成黑色：

    

• 左旋转：

  • 逆时针旋转红黑树的两个节点，使得父节点被自己的右孩子取代，而自己成为自己的左孩子。说起来很怪异，大家看下图：​​​​​​​

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  • 图中，身为右孩子的Y取代了X的位置，而X变成了自己的左孩子。此为左旋转。

• 右旋转：

  • ​​​​​​​顺时针旋转红黑树的两个节点，使得父节点被自己的左孩子取代，而自己成为自己的右孩子。大家看下图：
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  • 图中，身为左孩子的Y取代了X的位置，而X变成了自己的右孩子。此为右旋转。

• 我们以刚才插入节点21的情况为例：

  

  首先，我们需要做的是变色，把节点25及其下方的节点变色：

  

  此时节点17和节点25是连续的两个红色节点，那么把节点17变成黑色节点？恐怕不合适。这样一来不但打破了规则4，而且根据规则2（根节点是黑色），也不可能把节点13变成红色节点。

  变色已无法解决问题，我们把节点13看做X，把节点17看做Y，像刚才的示意图那样进行左旋转：

  

  

  

  由于根节点必须是黑色节点，所以需要变色，变色结果如下：

  

  这样就结束了吗？并没有。因为其中两条路径(17 -> 8 -> 6 -> NIL)的黑色节点个数是4，其他路径的黑色节点个数是3，不符合规则5。

  这时候我们需要把节点13看做X，节点8看做Y，像刚才的示意图那样进行右旋转：

  

  

  

  最后根据规则来进行变色：

  

  如此一来，我们的红黑树变得重新符合规则。这一个例子的调整过程比较复杂，经历了如下步骤：

  变色 -> 左旋转 -> 变色 -> 右旋转 -> 变色